Matrizen bei Zustandsänderungen

Matrizen bei Zustandsänderungen

Hallo erstmal an alle Wink

. Ich bin ganz neu hier und habe mich aus einem ganz bestimmten Grund angemeldet. Und zwar komme ich mit meinen Hausaufgaben nicht weiter. Das Thema liegt mir überhaupt nicht und obwohl ich meine 12 Punkte in Mathe habe, komme ich hier überhaupt nicht weiter.

Naja ich sollte mal einfach die Aufgabe und meine Lösungen hier reinstellen.

Zitat:

Ein Autovermieter hat Niederlassungen in drei Städten, A, B und C.
Die gemieteten Fahrzeuge können ohne Aufpreis am Ende des Tages an einer der drei Niederlassungen zurück gegeben werden, gleichgültig, an welcher Stelle das Mietfahrzeug übernommen wurde.
Durch Beobachtungen stellt der Geschäftsführer folgende Übergangswahrscheinlichkeiten für Fahrzeuge zwischen den drei Niederlassungen fest:

• 80% der Fahrzeuge, die am Morgen in Niederlassung A stehen, stehen am nächsten Morgen wieder in A, je 10% sind von A nach B bzw. C gewechselt.
• Nach Niederlassung B kehren 60% der ausgeliehenen Fahrzeuge zurück, je 20% wechseln nach A bzw. C.
• Von Niederlassung C aus wechseln erfahrungsgemäß 20% nach Niederlassung A und 10% nach Niederlassung C.

a) Zeichen Sie ein Übergangsdiagramm.

b) An einem Tag stehen morgens 10% der Fahrzeuge in A, 50% in B und 40% in C. Bestimmen Sie die Übergangsmatrix M und berechnen Sie den Zustand am Ende des ersten, zweiten und dritten Tages. Machen Sie zudem eine Prognose über die Langzeitentwicklung der Fahrzeugbestände an den 3 Standorten, falls sich die Bedingungen nicht ändern.

c) Um besser kalkulieren zu können, möchte der Geschäftsführer morgens immer gleich viele Fahrzeuge an der jeweiligen Station zur Verfügung haben (z.B. 20 Fahrzeuge in A, 10 Fahrzeuge in B und 30 Fahrzeuge in C). Wie viele Fahrzeuge müssen morgens jeweils in A, B und C stehen, wenn die Firma insgesamt 100 Fahrzeuge besitzt?

d) Am Morgen eines zufälligen Tages stehen am Standort A genau 25 Pkw und 12 Transporter, bei den anderen Standorten stehen insgesamt 40 Pkw sowie 13 Transporter bereit zur Vermietung. Erstellen Sie in diesem Zusammenhang eine sinvolle Vierfeldertafel, aus welcher Sie zwei verschiedene Baumdiagramme entwickeln. Erläutern Sie die Bedeutung am Baumdiagramm ausgewählter Daten.

So zu Aufgabe a) habe ich auch ein Diagramm erstellt. Freude

Doch bei Aufgabe b) komm ich schon nicht weiter.. bzw. ich kann hier mein Lösungsansatz reinstellen und ihr könnt mal gucken ob es richtig ist.

b) Lösung für den ersten Tag: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,8 &0,2 &0,2 \\ 0,1 &0,6 &0,1 \\ 0,1 &0,2 &0,7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,1 \\ 0,5 \\ 0,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,26 \\ 0,35 \\ 0,39 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das habe ich nun auch für den zweiter und dritten Tag gemacht.

Aber nun komme ich mit der Prognose nicht weiter.. Meint der Lehrer etwa eine Formel aufstellen? Aber wie soll sie aussehen? Etwa Übergangsmatrix M x Startvektor V??

Und bei c) weiß ich erst Recht garnichts.. Nach was ist da gefragt? Soll ich nun mit "Lambda" rechnen?? verwirrt

Fragen über Fragen ich hoffe ihr könnt mir helfen...

RE: Matrizen bei Zustandsänderungen

Zitat:

Original von peter.muller
Hallo erstmal an alle Wink

. Ich bin ganz neu hier und habe mich aus einem ganz bestimmten Grund angemeldet. Und zwar komme ich mit meinen Hausaufgaben nicht weiter. Das Thema liegt mir überhaupt nicht und obwohl ich meine 12 Punkte in Mathe habe, komme ich hier überhaupt nicht weiter.

Naja ich sollte mal einfach die Aufgabe und meine Lösungen hier reinstellen.

Zitat:

Ein Autovermieter hat Niederlassungen in drei Städten, A, B und C.
Die gemieteten Fahrzeuge können ohne Aufpreis am Ende des Tages an einer der drei Niederlassungen zurück gegeben werden, gleichgültig, an welcher Stelle das Mietfahrzeug übernommen wurde.
Durch Beobachtungen stellt der Geschäftsführer folgende Übergangswahrscheinlichkeiten für Fahrzeuge zwischen den drei Niederlassungen fest:

• 80% der Fahrzeuge, die am Morgen in Niederlassung A stehen, stehen am nächsten Morgen wieder in A, je 10% sind von A nach B bzw. C gewechselt.
• Nach Niederlassung B kehren 60% der ausgeliehenen Fahrzeuge zurück, je 20% wechseln nach A bzw. C.
• Von Niederlassung C aus wechseln erfahrungsgemäß 20% nach Niederlassung A und 10% nach Niederlassung C.

a) Zeichen Sie ein Übergangsdiagramm.

b) An einem Tag stehen morgens 10% der Fahrzeuge in A, 50% in B und 40% in C. Bestimmen Sie die Übergangsmatrix M und berechnen Sie den Zustand am Ende des ersten, zweiten und dritten Tages. Machen Sie zudem eine Prognose über die Langzeitentwicklung der Fahrzeugbestände an den 3 Standorten, falls sich die Bedingungen nicht ändern.

c) Um besser kalkulieren zu können, möchte der Geschäftsführer morgens immer gleich viele Fahrzeuge an der jeweiligen Station zur Verfügung haben (z.B. 20 Fahrzeuge in A, 10 Fahrzeuge in B und 30 Fahrzeuge in C). Wie viele Fahrzeuge müssen morgens jeweils in A, B und C stehen, wenn die Firma insgesamt 100 Fahrzeuge besitzt?

d) Am Morgen eines zufälligen Tages stehen am Standort A genau 25 Pkw und 12 Transporter, bei den anderen Standorten stehen insgesamt 40 Pkw sowie 13 Transporter bereit zur Vermietung. Erstellen Sie in diesem Zusammenhang eine sinvolle Vierfeldertafel, aus welcher Sie zwei verschiedene Baumdiagramme entwickeln. Erläutern Sie die Bedeutung am Baumdiagramm ausgewählter Daten.

So zu Aufgabe a) habe ich auch ein Diagramm erstellt. Freude

Doch bei Aufgabe b) komm ich schon nicht weiter.. bzw. ich kann hier mein Lösungsansatz reinstellen und ihr könnt mal gucken ob es richtig ist.

b) Lösung für den ersten Tag: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,8 &0,2 &\textcolor{red}{0,2} \\ 0,1 &0,6 &\textcolor{red}{0,1} \\ 0,1 &0,2 &\textcolor{red}{0,7}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,1 \\ 0,5 \\ 0,4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,26 \\ 0,35 \\ 0,39 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das habe ich nun auch für den zweiter und dritten Tag gemacht.

Aber nun komme ich mit der Prognose nicht weiter.. Meint der Lehrer etwa eine Formel aufstellen? Aber wie soll sie aussehen? Etwa Übergangsmatrix M x Startvektor V??

Und bei c) weiß ich erst Recht garnichts.. Nach was ist da gefragt? Soll ich nun mit "Lambda" rechnen?? verwirrt

Fragen über Fragen ich hoffe ihr könnt mir helfen...

Ein Teil des rot markierten Texts stimmt nicht Augenzwinkern

Aber erstmal zu b)

Für eine Abschätzung kannst du 2 Wege durchführen:

• Genügend große Potenzen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Matrix M für die Berechnung $\begin{eqnarray*} M^\alpha \cdot \vec x \end{eqnarray*}$ benutzen, um lange in die Zukunft zu schauen.
• Die stationäre Verteilung $\begin{eqnarray*} M \cdot \vec x = \vec x \end{eqnarray*}$ errechnen.

Schöner ist die zweite Vorgehensweise, aber beide sind mögliche Lösungen.

Wink

RE: Matrizen bei Zustandsänderungen

Zitat:

Ein Teil des rot markierten Texts stimmt nicht Augenzwinkern

Aber erstmal zu b)

Für eine Abschätzung kannst du 2 Wege durchführen:

• Genügend große Potenzen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Matrix M für die Berechnung $\begin{eqnarray*} M^\alpha \cdot \vec x \end{eqnarray*}$ benutzen, um lange in die Zukunft zu schauen.
• Die stationäre Verteilung $\begin{eqnarray*} M \cdot \vec x = \vec x \end{eqnarray*}$ errechnen.

Schöner ist die zweite Vorgehensweise, aber beide sind mögliche Lösungen.

Wink

Achso also meinst du, dass ich bei Prognosen über die Langzeitentwicklungen der Fahrzeugbeständen an den 3 Standorten, die Formel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Matrix M für die Berechnung $\begin{eqnarray*} M^\alpha \cdot \vec x \end{eqnarray*}$ benutzen sollte?

Das heißt, dass die Matrix M mit sich selbst multipliziert werden muss.. Also M^2 für 2 Tage und M^10 für 10 Tage..

Ok und wie macht man dann am Besten c)? Ich weiß nur, dass ich auf auf jeden Fall irgendetwas mit den 100 Autos machen muss.. Aber ich weiss nicht was..

Hey,

wenn du die stationäre relative Verteilung ausgerechnet hast, also das Ergebnis von

$\begin{eqnarray*} M \cdot \vec x = \vec x \text{~~ bzw. ~~} M^\alpha \cdot \vec v = \vec x \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ als stochastischer Vektor der langfristigen Verteilung [stochastisch heißt also, dass man die Verteilung hier prozentual angibt und die Spaltensumme =1 ist.], genügend großem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und der Startverteilung $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ in der rechten Gleichung.

Du bekommst bei den Rechnungen oben immer nur Vektoren heraus, die dir prozentuale Aussagen geben. Also z.b. dass nach 60 Tagen am folgenden Morgen 30% der Autos bei A sind etc. (reiner Beispielwert).

Um jetzt also eine feste Aussage über den Autobestand zu machen, musst du errechnen, wenn der Besitzer insg. 100 Autos besitzt, und z.B. 30% bei A sind, wie vielen Autos dies entspricht.

Aus einem relative Vektor (da Spaltensumme =1) machst du nun also einen absoluten (mit Spaltensumme =100). Wink

Matrizen bei Zustandsänderungen

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