Einheitskreisscheibe in R^2 offen

10.06.2014, 09:59

matosch

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Einheitskreisscheibe in R^2 offen

Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgendes zeigen:

Es sei $\begin{eqnarray*} K:=\{(x,y)\in \mathbb R^2: x^2 + y^2 < 1\} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass K eine offene Menge bzgl. der von der Euklidischen Norm definierten Topologie ist.

Meine Ideen:
Meine Idee war zu zeigen dass es nicht kompakt ist.
Beschränktheit ist durch die Definition der Menge gegeben und um zu zeigen, dass die Menge nicht abgeschlossen ist, könnte ich mir die Folge (0,1-1/n) hernehmen, deren Grenzwert nicht in K ist. => K nicht abgeschlossen. Aber folgt daraus auch, dass K offen ist?

10.06.2014, 10:12

bijektion

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Zitat:

Aber folgt daraus auch, dass K offen ist?

Im allgemeinen nicht.
Warum gibst du nicht einfach zu jedem $\begin{eqnarray*} (x,y)\in K \end{eqnarray*}$ ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ an, sodass $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x,y) \subset K \end{eqnarray*}$ ? Das ist doch nicht schwer smile

smile

10.06.2014, 10:21

matosch

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Eine Teilmenge O von X heißt offen, wenn es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x \in O \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Kugel gibt mit $\begin{eqnarray*} U_e (x) \subset O \end{eqnarray*}$ .

Mir fehlt leider der Überblick wie ich das ganze angehen soll es ist mein erster Offen/abgeschlossen beweis unglücklich

unglücklich

Sei $\begin{eqnarray*} (x,y) \in K \end{eqnarray*}$ . Und genau da stockt es bei mir jetzt..wie gehe ich vor? was schreibe ich genau? was weiß ich ?

10.06.2014, 10:30

bijektion

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Sei $\begin{eqnarray*} (x,y) \in K \end{eqnarray*}$ .
Jetzt versuch doch mal den kleinsten Abstand zum Rand zu bestimmen smile

smile

10.06.2014, 10:48

matosch

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Sei $\begin{eqnarray*} (x,y) \in K \end{eqnarray*}$ Mittelpunkt des Kreises. Dann gilt $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon} (x,y) \in K \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon <1 \end{eqnarray*}$ .
Wähle einen Punkt $\begin{eqnarray*} (x',y') \in K \end{eqnarray*}$ . Definiere $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 = \epsilon - d((x,y),(x',y')) \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} U_{\epsilon _1} (x',y') \end{eqnarray*}$ ganz in $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (x,y) \end{eqnarray*}$ liegt.

Bin ich da irgendwie richtig? Könntest du mir formal helfen eventuell bitte?

10.06.2014, 10:53

bijektion

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Was bringt dir denn der Ursprung? Warum so kompliziert? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Betrachte das offene Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ . Ich suche ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) \subset (-1,1) \end{eqnarray*}$ ; gut, dann wähle doch mal $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon < \min{(|x+1|,|x-1|)} \end{eqnarray*}$ . Jetzt versuch das zu übertragen smile

smile

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10.06.2014, 10:55

matosch

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ich weiß nicht ob wir dieses intervall als offen voraussetzen dürfen.
anschaulich ist es schon klar aber wir haben es nicht wirklich bewiesen.
dann wäre ja die Aufgabe leicht wenn wir wissen dass zb. (0,1) offen ist.

10.06.2014, 10:58

bijektion

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Zitat:

ich weiß nicht ob wir dieses intervall als offen voraussetzen dürfen.

Das wird damit gerade als Nebenprodukt bewiesen smile

smile

10.06.2014, 10:59

matosch

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wie genau wende ich das jetzt hier an? Ich weiß nicht wie ich das jetzt wo einsetzen soll unglücklich

unglücklich

10.06.2014, 11:02

bijektion

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Offenbar ist doch $\begin{eqnarray*} K= (-1,1) \times (-1,1) \end{eqnarray*}$ . Jetzt wendest du den Beweis, dass $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ offen ist, auf die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - und die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinate an smile

smile

10.06.2014, 11:03

matosch

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aber dass das Intervall (-1,1) offen ist, weiß ich ja noch gar nicht, das ist mein Problem

10.06.2014, 11:05

bijektion

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Zitat:

Betrachte das Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ . Ich suche ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x) \subset (-1,1) \end{eqnarray*}$ ; gut, dann wähle doch mal $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon < \min{(|x+1|,|x-1|)} \end{eqnarray*}$ .

Das ist der Beweis.

10.06.2014, 11:15

matosch

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Mein Problem liegt jetzt noch eher beim Formalen.
Gut ich wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ so wie du es angegeben hast, aber wie formuliert man das dann aus?
verständlich ist es

10.06.2014, 11:20

bijektion

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Also der für $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ sähe etwa so aus: Sei $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ . Dann wähle $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{\min(|x+1|,|x-1|)}{2} \end{eqnarray*}$ , es ist dann $\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon}(x)\subset (-1,1) \end{eqnarray*}$ , und das war zu zeigen.

10.06.2014, 11:24

matosch

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wie genau kommst du jetzt bei $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ auf das "durch 2" ?

10.06.2014, 11:29

bijektion

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Da könnte jede Zahl $\begin{eqnarray*} >1 \end{eqnarray*}$ stehen, man muss ja nur $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon < \min{(|x+1|,|x-1|)} \end{eqnarray*}$ garantieren smile

smile

10.06.2014, 12:01

matosch

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ich habe diese erkenntnis jetzt versucht auf den Fall (-1,1)x(-1,1) anzuwenden doch ich schaffe es einfach nicht, egal in welche Richtung ich gehe, finde ich kein Epsilon und keine handfeste Behauptung, die mich den Beweis endlich als abgeschlossen ansehen lässt :@

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