Ergebnis der Summe mit binomischem Lehrsatz berechnen

10.06.2014, 12:41

Jaki

Ergebnis der Summe mit binomischem Lehrsatz berechnen

Meine Frage:
Ich muss mit dem bin. Lehrsatz das Ergebnis der jeweiligen Summen berechnen. Bin. Lehrsatz ist mir soweit klar der Rechenverlauf nicht so ganz, hab zwar ähnliche Bsp. im Inet gefunden aber nur so ähnlich...

Bsp. 1 $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n 2^{n} \end{eqnarray*}$

u. Bsp. 2 $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{k} = 0 \end{eqnarray*}$ Bei beiden is noch die Standardbedingung mit (n über k) dabei habs im formeleditor nicht gefunden....)

Meine Ideen:
Naja meine eigenen Ansätze sind vorerst noch eher spährlich weil ich ja nicht weis wie ich anfangen soll...

Bitte um paar Tipps.

10.06.2014, 13:13

Iorek

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In der ersten Summe ist der Summand unabhängig vom Laufindex der Summe, ist das beabsichtigt?

Ansonsten: Du könntest ja mal $\begin{eqnarray*} 1^{n-k} \end{eqnarray*}$ ranmultiplizieren, das verändert den Ausdruck ja nicht...

10.06.2014, 13:16

HAL 9000

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Wenn ich den Begleittext richtig deute, so hat Jaki in Bsp 1 nicht nur den Binomialkoeffizienten, sondern auch noch das Gleichheitszeichen weggelassen. unglücklich

Gemeint scheint zu sein:

Bsp 1: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n \end{eqnarray*}$

Bsp 2: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0 \end{eqnarray*}$ .

10.06.2014, 13:34

Jaki

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Hallo, Danke für eure Antworten smile

habs schon lösen können - die Antwort lautet beim ersten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=1^{n-k}*1^k \end{eqnarray*}$ allgemeine Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=(1+1)^n \end{eqnarray*}$ x u. y rausgenommen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n \end{eqnarray*}$ einfach addiert - hab selbst nicht gedacht das es so einfach is...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}=0 \end{eqnarray*}$

weil ich weiss das $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} = 0 \end{eqnarray*}$ sein soll nehme ich für x = 1 u. y = -1 (y ist ja schon gegeben)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (1)^{n-k} (-1)^k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (1 + (-1))^n = 0 \end{eqnarray*}$

und fertig oder hab ich etwas falsch gemacht?

ps.: darf man hier auch Fragen zur Finanzmathematik stellen bzw. kennt jemand ein gutes?

Liebe Grüße

10.06.2014, 13:58

HAL 9000

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Du pflegst eine grauenhafte mathematische Form: Wo du alles das Gleichheitszeichen dazwischensetzt, da möchte man einfach nur noch Kotzen

Zwei Beispiele:

Zitat:

Original von Jaki
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=1^{n-k}*1^k \end{eqnarray*}$ allgemeine Form

Anscheinend meinst du hier

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} * 1^{n-k}*1^k \end{eqnarray*}$ .

Und hier dann

Zitat:

Original von Jaki
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (1)^{n-k} (-1)^k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (1 + (-1))^n = 0 \end{eqnarray*}$

wohl auch eher

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (1)^{n-k} (-1)^k = (1 + (-1))^n = 0 \end{eqnarray*}$ .

10.06.2014, 14:01

Jaki

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Ja ok werd ich alles ausbessern :|

10.06.2014, 14:15

Jaki

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Da mein vorletzter Post unleserlich war hier nochmal:

Die antwort der ersten Rechnung lautet:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}* 1^{n-k}*1^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}*(1+1)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n \end{eqnarray*}$
einfach addiert

Aufgabe 2:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}=0 \end{eqnarray*}$ Angabe der zweiten Aufgabe

hier nehme ich für x = 1 da y = -1 ja schon gegeben ist - Ziel ist ja auf 0 zu kommen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (1)^{n-k} (-1)^k = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (1 + (-1))^n = 0 \end{eqnarray*}$

So ich hoffe jetzt passt die Form und die lesbarkeit hat sich hoffentlich erhöht.

10.06.2014, 14:54

HAL 9000

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Ja, so sieht das schon besser aus.

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