Limessuperior, Folgen

10.06.2014, 17:26

matosch

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Limessuperior, Folgen

Meine Frage:
Beispiel: Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Folge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .
zz.: Es gibt $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \forall n >= n_0: \|{a_n}\| \leq limsup \|a_n\| + 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider habe ich keine Ideen wie ich das zeigen soll. Ich sitze jetzt schon sehr lange an diesem Beispiel ein kleiner Tipp wäre vielleicht schon hilfreich smile

smile

10.06.2014, 17:31

bijektion

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Der $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ einer Folge ist der größte Häufungswert, also gibt es nur endlich viele Folgenglieder, sodass $\begin{eqnarray*} a_n >\limsup_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ smile

smile

Hilft das schon weiter?

10.06.2014, 17:38

matosch

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ich weiß : $\begin{eqnarray*} limsup~a_n \leq sup\{a_n : n \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray*}$ .
und genau da stehe ich jetzt an..

10.06.2014, 17:45

matosch

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mich irritiert das +1 ein bisschen weil ich nicht weiß, woher das genau kommt

10.06.2014, 18:15

matosch

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Ich habe jetzt: Sei $\begin{eqnarray*} a:= limsup~an \end{eqnarray*}$ und H:=Menge der Häufungspunkte.
dann gilt: $\begin{eqnarray*} a =sup(H) \Rightarrow \forall \epsilon > 0 \exists n \in \mathbb{N} : a_n - a < \epsilon <=> \forall \epsilon >0 \exists n \in \mathbb{N} : a_n < a + \epsilon. \end{eqnarray*}$ .

10.06.2014, 18:59

bijektion

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Du kannst aiuch einfach die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n)_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_n:=||a_n|| \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Folge und somit sei $\begin{eqnarray*} B:=\limsup_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ .
Dann gibt es nur endlich viele $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_n\geq B+1 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} M:=\left\{m \in\mathbb{N}| b_m \geq B+1\right\} \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} n_0=1+\max M \end{eqnarray*}$ smile

smile

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10.06.2014, 19:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von bijektion
Der $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ einer Folge ist der größte Häufungswert, also gibt es nur endlich viele Folgenglieder, sodass $\begin{eqnarray*} a_n >\limsup_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$

Na so stimmt es nicht, jede positive Nullfolge spricht dagegen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.06.2014, 19:24

matosch

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kannst du mir vielleicht sagen ob die antwort (beweis) davor jetzt richtig ist?

10.06.2014, 19:32

bijektion

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Danke für den Einwand HAL, das ist natürlich falsch.
Es gibt nur endlich viele Folgenglieder, die oberhalb von $\begin{eqnarray*} \epsilon +\limsup_{n\to\infty}a_n \end{eqnarray*}$ liegen ( $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ).

10.06.2014, 19:33

matosch

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ändert das jetzt etwas an deinem beweis?

10.06.2014, 19:35

bijektion

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Nein, das war einer blöden Ausdrucksweise geschuldet, in diesem Fall ist sozusagen $\begin{eqnarray*} \epsilon =1 \end{eqnarray*}$ .

10.06.2014, 19:56

matosch

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vielen Dank smile

smile

10.06.2014, 20:01

bijektion

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Wink

10.06.2014, 20:05

matosch

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eine kurze frage habe ich noch.. wieso brauchen wir denn jetzt unbedingt diese $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ?

10.06.2014, 20:08

bijektion

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Das ist doch deine Aufgabe verwirrt

verwirrt

10.06.2014, 20:09

matosch

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oh haha ich bin heute schon leider etwas verwirrt ich übe gerade für eine Prüfung und mach alle Beispiele gerade gemischt durcheinander da verliert man leicht den Überblick.
jetzt hab ichs endgültig verstanden..dankeschön

10.06.2014, 20:11

bijektion

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Gerne

Freude

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