Maßtheorie - Maß eines Punktes

10.06.2014, 19:15

r4ndom19

Maßtheorie - Maß eines Punktes

Hallo,

es sei der Maßraum $\begin{eqnarray*} (\mathbb R , B, \lambda ) \end{eqnarray*}$
Wobei B die Borelsche Sigma-Algebra von R ist und Lambda ein Maß auf dem Messraum $\begin{eqnarray*} (\mathbb R , B ) \end{eqnarray*}$

Kann man dann generell sagen, das das Maß eines einzelnen Punktes 0 ist?
Ich würde sagen ja, denn man kann ja einen Punkt als Schnitt
$\begin{eqnarray*} \bigcap \left[x, x+\frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ über n darstellen.
Dann kann man ja davon das Maß betrachten. Da diese Mengen aber geschachtelt sind, kann man ja auch
$\begin{eqnarray*} \lambda (\lim_{n \to \infty } \left[x, x+\frac{1}{n} \right)) = \lambda (\emptyset)=0 \end{eqnarray*}$

Klappt das alles so?

10.06.2014, 19:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von r4ndom19
Kann man dann generell sagen, das das Maß eines einzelnen Punktes 0 ist?

Nein, kann man nicht sagen. Mit der Stetigkeit des Maßes hast du Recht (sofern $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein endliches Maß ist, vielleicht reicht auch sigma-endlich):

Es ist dann

$\begin{eqnarray*} \lambda \left( \bigcap_{n\geq 1} \left[ x , x+\frac{1}{n} \right) \right) = \lambda \left( \{ x \} \right) \end{eqnarray*}$ .

Und das muss durchaus nicht Null sein, z.B. ist es das nicht bei diskreten Maßen mit "Masse" bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

10.06.2014, 19:35

r4ndom19

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Ja, nehmen wir das Maß auf jeden Fall endlich und positiv. Aber ist dieser Grenzwert den ich betrachte nicht die leere Menge?

10.06.2014, 19:48

HAL 9000

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Wieso soll das die leere Menge sein? Der Durchschnitt umfasst alle die Elemente, die in jeder der beteiligten Mengen enthalten sind.

Ist nun $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in allen Intervallen $\begin{eqnarray*} \left[x,x+\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ enthalten - oder ist es das nicht? Teufel

10.06.2014, 19:55

Che Netzer

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mit der Stetigkeit des Maßes hast du Recht (sofern $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein endliches Maß ist, vielleicht reicht auch sigma-endlich)

Sigma-Endlichkeit genügt übrigens nicht: Betrachte das Maß, das den Punkten $\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ jeweils den Wert Eins zuweist; genauer sei $\begin{eqnarray*} \lambda:=\sum_{n\in\mathbb N}\delta_{\frac1n} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist stets $\begin{eqnarray*} \lambda\bigl([0,\tfrac1k)\bigr)=\infty \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lambda(\{0\})=0 \end{eqnarray*}$ .

Lokale Endlichkeit würde aber ausreichen.

10.06.2014, 19:58

r4ndom19

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Also ich hätte ja dreißt gesagt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left[x, x+\frac{1}{n} \right)=\left[x, x\right) \end{eqnarray*}$
Und das wäre ja leer unglücklich

Naja, dann klappt das wohl nicht. Schade Augenzwinkern

10.06.2014, 20:00

HAL 9000

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Tja, dann siehst du mal, dass man solchermaßen unüberlegt formalen Vorgehen auch Blödsinn verzapfen kann.

10.06.2014, 20:03

r4ndom19

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Aber wie sieht der Grenzwert diese Menge dann aus?
Ich nehme an dann [x,x]. Wie begründet man das? Genügt es zu sagen, es gibt keinen Index n ab dem x+1/n=x gilt?

10.06.2014, 20:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von r4ndom19
Aber wie sieht der Grenzwert diese Menge dann aus?

Hab ich doch gesagt:

Zitat:

Original von HAL 9000
Der Durchschnitt umfasst alle die Elemente, die in jeder der beteiligten Mengen enthalten sind.

Die, und genau die.

10.06.2014, 20:16

r4ndom19

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Zitat:

Original von HAL 9000
Der Durchschnitt umfasst alle die Elemente, die in jeder der beteiligten Mengen enthalten sind.

Die, und genau die.[/quote]

Aber wir bilden ja keinen Durchschnitt, sondern bilden einfach einen Limes. Oder ist das dann Prinzipiell das gleiche?

10.06.2014, 20:27

HAL 9000

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Jetzt müssen wir wohl auch noch zur Definition des Mengenlimes zurückgehen? geschockt

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} A_n := \bigcap_{k\geq 1} \bigcup_{n\geq k} A_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \liminf_{n\to\infty} A_n := \bigcup_{k\geq 1} \bigcap_{n\geq k} A_n \end{eqnarray*}$

Wenn beide Limes übereinstimmen, bezeichnet man die Mengenfolge als konvergent. Im Falle monotoner Mengenfolgen ist das gewährleistet:

Ist wie hier $\begin{eqnarray*} A_1\supset A_2\supset A_3\supset \ldots \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n\geq k} A_n = A_k \end{eqnarray*}$ und folglich

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty} A_n = \liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n\geq 1} A_n \end{eqnarray*}$ .

10.06.2014, 20:44

r4ndom19

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Achso, im Falle der Konvergenz ist der Limes einer Mengenfolge der Limes über die Schnittfolge der Menge. Das habe ich so noch nicht gehört! Danke für deine Ausführungen, mir ist jetzt einiges klarer.

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