Raum mit gebrochener Dimension

10.06.2014, 23:48	Felix.	Auf diesen Beitrag antworten »
Raum mit gebrochener Dimension Meine Frage: Ist es möglich einen Raum mit gebrochner Dimension zu definieren? Man stelle sich eine Strecke mit der Länge $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und ein Quadrat mit dem Flächeninhalt $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ vor. Ein Hyperwürfel der Dimension n wird das Volumen $\begin{eqnarray} a^n \end{eqnarray}$ haben. Sagen wir, die Dimension ist 3/2, so wird doch das Volumen $\begin{eqnarray} a^{3/2} \end{eqnarray}$ sein. Eine Strecke kann man in zwei Strecken halber Länge teilen. Ein Quadrat wird in vier Quadrate mit 1/4 des Flächeninhalts zerlegt. Kann man einen 3/2-dimensionalen Würfel in drei kleinere 3/2-dimensionale Würfel zerlegen, die jeweils 1/3 der Volumens haben werden? Gibt es so einen Raum mit 1,5 Achsen? Kann dort jeder Vektor als Linearkombination von 1,5 Basisvektoren dargestellt werden? Kann ein Tupel 1,5 Komponenten haben? Gibt es eine Menge mit 1,5 Elementen? Meine Ideen: Mir ist noch keine sinnvolle Konstruktion eingefallen. Ich stelle mir auch die Frage, ob man soetwas überhaupt sinnvoll definieren kann.
11.06.2014, 00:01	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar Dimensionsbegriffe finden sich hier: wikipedia.org/wiki/Fraktale_Dimension
16.06.2014, 17:38	Felix.	Auf diesen Beitrag antworten »
Schanuel-Eulercharakteristik Bezüglich der Dimension habe ich (1) arxiv.org/abs/1106.5787 gefunden. Dort scheint es mehr um Skalierungseigenschaften zu gehen und nicht um Räume mit 3/2 Achsen. Ich frage mich ja auch, ob soetwas überhaupt möglich ist. Kann so ein Raum isotrop sein, oder verbietet sich das? Mit fraktionalen Ableitungen habe ich mich schon beschäftigt, aber ein Zusammenhang zur Geometrie kam mir dabei nie in den Sinn. Mit der Gammafunktion lassen sich ja kombinatorische Funktionen auf reelle Zahlen verallgemeinern. Das muss doch auch eine Bedeutung haben. Für eine Menge mit 3/2 Elementen muss es also $\begin{eqnarray} (3/2)! =\Gamma(5/2) \end{eqnarray}$ Permutationen geben. Was was ist eine Menge mit 3/2 Elementen? Ich habe noch (2) ww.math.ucr.edu/home/baez/counting/counting.pdf gefunden. Dort wird eine Schanuel-Eulercharakteristik (kombinatorische Eulercharakteristik) erläutert, die von der gewöhnlichen Eulercharakteristik zu unterscheiden ist. Die gewöhnliche Eulercharakteristik ist für alle Objekte mit gleichem Homotopietyp die selbe. Für die Schanuel-Eulercharakteristik trifft das jedoch nicht zu. Für diese scheint jedoch in jedem Fall die Formel $\begin{eqnarray} \chi(A\cup B) = \chi(A)+\chi(B)-\chi(A\cap B) \end{eqnarray}$ gültig zu sein. Man kann zum Beispiel eine Menge in zwei Teile auftrennen. Ein Teil hat an der Trennstelle einen Rand, der andere Teil nicht. Die Schanuel-Eulercharakteristik lässt sich nun auf beide Teile getrennt anwenden und man kann die Ergebnisse summieren. Für den Torus mit zwei Löchern oder den Torus mit drei Löchern bekam ich das gleiche Ergebnis wie bei der gewöhnlichen Eulercharakteristik. Etwas an der gewöhnlichen Eulercharakteristik ist seltsam. Wenn man einen Kreis hat, so ergibt sich $\begin{eqnarray} \chi=0 \end{eqnarray}$ . Legt man einen Knoten auf den Kreis, so gibt es ja eine Ecke mehr, aber trotzdem nur eine Kante und damit wird $\begin{eqnarray} \chi=1 \end{eqnarray}$ . Wenn jetzt weitere Knoten auf den Kreis legt, dann bleibt $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ aber gleich, weil zu jeder Ecke eine Kante auch immer in zwei Kanten aufgespalten wird. Für die Schanuel-Eulercharakteristik scheint ein beidseitig offenes Intervall das gleiche zu sein, wie ein Simplizialkomplex aus zwei Dreiecken. In (2) wird ein solches beidseitig offenes Intervall auch als Brücke bezeichnet. Was haltet ihr von dieser Charakteristik? Könnt ihr abschätzen, ob sie nützlich ist?

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