Beweisen mittels Induktion - Induktionsvoraussetzung

11.06.2014, 10:18

Jaki

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Beweisen mittels Induktion - Induktionsvoraussetzung

Meine Frage:
Bräuchte Tipps, Erklärungen zu den 3 nachfolgenden Induktionsaufgaben:
Die erste habe ich schon gerechnet gefunden und bräuchte zu der ein paar Erklärungen.

Hier die Angabe der ersten Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^m k^2 = (m*(m+1)*(2m+1))/6 \end{eqnarray*}$

Die Lösung gibts hier:

http://s14.directupload.net/images/140611/v463japs.png

http://s1.directupload.net/images/140611/ixiydud6.png

Fragen dazu sind:
Was genau ist die Induktionsvoraussetzung bzw. wie bestimme ich die?
Ich weiss so ca. das ich im Induktionsschluss wieder auf die Induktionsvoraussetzung kommen muss?!

Und dann bräuchte ich bitte noch Hilfe für die zwei Aufgaben 9 und 10:

9. Man bestimme die kleinste natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray*} 2k_0 > 2k_0 + 1 \end{eqnarray*}$ und beweise
anschließend mit vollständiger Induktion, dass für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2^k > 2k + 1 \end{eqnarray*}$ .

10. Man beweise durch vollständige Induktion nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , dass die Zahl $\begin{eqnarray*} t^3-t \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen
Zahlen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ durch 6 teilbar ist.

Meine Ideen:
Das erste Bsp. hab ich ja schon bräuchte halt nur paar Erklärungen zur Induktionsvoraussetzung.

Bei Bsp. 9 und 10 bin ich überfordert und ich weiss nicht wie ich die Angabe umsetzen soll....

Danke für eure Zeit, Mühe und Hilfe.

Liebe Grüße

11.06.2014, 11:06

bijektion

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Induktionsvoraussetzung ist, das die Aussage für $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt. Du musst dann zeigen, dass sie auch für $\begin{eqnarray*} m+1 \end{eqnarray*}$ gilt, dafür kannst du die Wahrheit der Aussage für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nutzen.

9)

Zitat:

Man bestimme die kleinste natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray*} 2k_0 > 2k_0 + 1 \end{eqnarray*}$ und beweise

Wirklich das? So eine natürliche Zahl gibt es nicht.

10) Der Induktionsanfang gilt wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1^3-1}{6}=0 \end{eqnarray*}$ . was ist jetzt die Induktionsvoraussetzung?

11.06.2014, 11:59

Jaki

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Bezüglich der Induktionsvoraussetzung ist es dann so das die IV ist:
Ich nehme dann einfach an das für ein m Element N (egal welches - aber einfach mal (m+1) ) die Summenformel auf der rechten Seite gilt (die muss ich ja dann mit (m+1) erweitern - also alle m mit (m+1) ersetzen)
Ach lassen wir das vorerst ...... Hammer

Hammer

Ja bei Bsp 9 ist es so richtig:
9. Man bestimme die kleinste natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray*} 2^{k_0}>2k_0 + 1 \end{eqnarray*}$ und beweise anschließend mit vollständiger Induktion, dass für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2^k > 2k+1 \end{eqnarray*}$ .

Bsp.: 10

Naja die induktionsvoraussetzung ist dann ja das $\begin{eqnarray*} (t^3-t)6 \end{eqnarray*}$ auch für $\begin{eqnarray*} (t+1) \end{eqnarray*}$ gelten soll.
aber wie rechne ich jetzt weiter ich hab ja keine zweite seite sondern einfach nur $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ??

oder soll ich einfach für (t+1) 2 annehmen und 2 in die Formel einsetzten?!
wenn ich das mache erhalte ich für $\begin{eqnarray*} (2^3-2)/6=1 \end{eqnarray*}$ .

Somit wär ja das schon bewiesen oder?! verwirrt

verwirrt

lg

11.06.2014, 12:29

bijektion

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9. Das ist ja auch schon was anderes. Hast du schon eine gefunden?

10. Induktionsvoraussetzung ist: $\begin{eqnarray*} \exists n \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{t^3-t}{6}=n \end{eqnarray*}$ .

11.06.2014, 13:35

Jaki

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Bei bsp. 9 ist die kleinste mögliche Zahl ja die 3 welche die Bedingung erfüllt.
Naja und wie beweise ich dann diese ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich weiss das mein $\begin{eqnarray*} k_0=3 \end{eqnarray*}$ ist nehme ich dann einfach $\begin{eqnarray*} k_{0+1} \end{eqnarray*}$ an was ja dann 4 wäre?! traurig

traurig

Zu Bsp. 10:

wieso nimmst du bei dem Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} \frac{1^3-1}{6}=0 \end{eqnarray*}$ für n 0 an?? oder ist das nur für den Ind. Anf. eine Annahme oder einfach nur die Lösung welche durch die Aufgabenstellung bedingt ist? (Ich nehme es einfach als die Lösung an)

Ja da du mir Gott sei Dank die Informationsvoraussetzung schon aufgeschrieben hast, brauch ich ja jetzt nur noch mit (n+1) zu ersetzen bzw. $\begin{eqnarray*} ((t+1)^3-(t+1))/6 = (n+1) \end{eqnarray*}$

bin ich richtig soweit?

Danke schonmal Wink

Wink

11.06.2014, 13:51

bijektion

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Zitat:

Naja und wie beweise ich dann diese ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ ?

Mit Induktion.

Zitat:

bin ich richtig soweit?

Nein, hier ist Induktion über $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gefordert, das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist nur ein Platzhalter für $\begin{eqnarray*} \frac{t^3-t}{6}\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

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13.06.2014, 10:24

Jaki

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Also nach langem meld ich mich wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bsp. 9 hab ich mal geschafft und zwar bin ich der Anleitung aus dem video hier gefolgt:
https://www.youtube.com/watch?v=CkpwLteznKU

Ich hab als erstes mal durch probieren $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ bestimmt, was in meinem Fall dann 3 oder größer sein muss damit die gleichung erfüllt ist.

Meine Induktionsannahme war dann $\begin{eqnarray*} 2^k>2k+1 \end{eqnarray*}$ und beim Induktionsschritt bin ich dann wie im Video vorgegangen ergo:
Beweisen will ich ja das gilt: $\begin{eqnarray*} 2^{k+1}>2*(k+1)+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{k+1} = 2^1*2^k \end{eqnarray*}$ jetzt mit der Induktionsannahme ersetzt $\begin{eqnarray*} 2^1*2^k > 2^1*2k+1=4k+2 \end{eqnarray*}$

naja und $\begin{eqnarray*} 4^k+2 > 2*(k+1)+1 = 4^k+2 > 2k+3 \end{eqnarray*}$
q.e.d ?

Liebe Grüße

Ps.: bei Bsp. 10 hab ich keine Ahnung wär nett wenn du mir das hinschreiben könntest.

Lg

13.06.2014, 10:29

bijektion

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9. Sollte so passen.

10. IV. ist $\begin{eqnarray*} \frac{t^3-t}{6}=n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Induktionsschritt mit $\begin{eqnarray*} t+1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{(t+1)^3-(t+1)}{6} \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} \frac{t^3-t}{6} \end{eqnarray*}$ zurückzuführen.

13.06.2014, 10:55

Jaki

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hmm ich glaub das geht nicht....

hab jetzt mit dem Bin. Lehrsatz mal $\begin{eqnarray*} (t^3+1) \end{eqnarray*}$ berechnet und dann $\begin{eqnarray*} (t+1) \end{eqnarray*}$ davon abgezogen und komme auf $\begin{eqnarray*} (t^3+3t^2+2t)/6 \end{eqnarray*}$ .

oder muss ich anders vorgehen bzw. umformen?!
danke für die schnelle antwort Wink

Wink

13.06.2014, 13:14

bijektion

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Nein, das ist schon richtig so. Fahre fort mit $\begin{eqnarray*} t^3+3t^2+2t=(t^3-t)+3\cdot (t^2+t) \end{eqnarray*}$ smile

smile

16.06.2014, 08:32

Jaki

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hmmm und jetzt???
$\begin{eqnarray*} t^3+3t^2+2t=(t^3-t)+3\cdot (t^2+t) \end{eqnarray*}$ kann ich ja so lange umformen wie ich will ich kann $\begin{eqnarray*} 3*(t^2+t)/6 \end{eqnarray*}$ nicht elimienieren .... unglücklich

unglücklich

Sag mir doch bitte die Lösung bzw. wie ich das umforme... hab noch viel zum lernen....

lg

16.06.2014, 08:34

bijektion

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Damit bist du schon fertig.
$\begin{eqnarray*} t^3-t \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ nach Induktionsvoraussetzung teilbar. Wegen $\begin{eqnarray*} 3\cdot (t^2+t)=3\cdot t \cdot (t+1) \end{eqnarray*}$ ist auch der zweite Summand durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar.

16.06.2014, 08:44

Jaki

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ich cheks nicht .... aber wenn dus sagst muss es wohl so sein ....

ergo ist $\begin{eqnarray*} 3\cdot (t^2+t)=3\cdot t \cdot (t+1) \end{eqnarray*}$
einfach die definition des nächsten elements?! also (t+1)

ich frag nur deshalb weil bis jetzt war der beweis ja immer das man links auf rechts bringen muss durch umformen usw... bzw. umgekehrt..

16.06.2014, 08:55

bijektion

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Zitat:

ergo ist $\begin{eqnarray*} 3\cdot (t^2+t)=3\cdot t \cdot (t+1) \end{eqnarray*}$ einfach die definition des nächsten elements?! also (t+1)

Nein

verwirrt

Zu zeigen ist für den Induktiosschritt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{(t+1)^3-(t+1)}{6} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar ist.
Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{(t+1)^3-(t+1)}{6} = \frac{(t^3-t)+3\cdot (t^2+t)}{6} \end{eqnarray*}$ , wie bereits gesagt ist nach Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} \frac{t^3-t}{6}=n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{(t^3-t)+3\cdot (t^2+t)}{6}=n+\frac{3\cdot t \cdot (t+1)}{6} \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} 3\cdot t \cdot (t+1) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar ist (weißt du auch warum?), gibt es $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \frac{3\cdot t \cdot (t+1)}{6}=m \end{eqnarray*}$ .
Es folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{(t+1)^3-(t+1)}{6} =n+m =: \overline{n}\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , und das war zu zeigen.

16.06.2014, 09:20

Jaki

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du bist ein Genie jetzt hab ichs smile

smile

natürlich weiss ich wie das mit der IV funktioniert hatte nur grad wieder einen hänger...

so isses jetzt natürlich klar omg

Danke dir Gott

Gott

16.06.2014, 09:22

bijektion

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Kein Problem Wink

Wink

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