Bestimmen differenzierbarer Funktionen

11.06.2014, 11:47

faktor

Bestimmen differenzierbarer Funktionen

Hallo!

Ich sitze vor folgender Aufgabe :

Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen f : R --> R , die den folgenden Gleichungen für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R bzw. für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R genügen:

(a) f ' (x) = 2x+1

(b) f (x+y) = f(x) + f(y)

(c) f ' (x) + f (x) =0

(d) f (x+y) = f(x)f(y)

Das Problem ist, dass ich die Aufgabe gar nicht richtig verstehe. Was genau muss ich tun? Kann mir da jemand etwas auf die Sprünge helfen, damit ich diese Aufgabe gelöst bekomme?

Viele Grüße

11.06.2014, 11:53

HAL 9000

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Das ist eben eine Aufgabe, wo du genau lesen und dann zuordnen solltest:

(a) ist eine einfache Integrationsaufgabe.

(c) ist eine Differentialgleichung - eine der einfacheren Sorte.

(b) und (d) sind Funktionalgleichungen - weiß nicht, wieviel ihr zu dem Thema hattet. Diese hier sind eigentlich fast ohne Vorkenntnisse lösbar, aber wenn man das noch nie gemacht hat, kann man sich da sicher nur sehr schwer reindenken...

11.06.2014, 12:07

faktor

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Schonmal vielen Dank für deine Antwort!

Wie würde man denn beispielsweise bei (c) vorgehen? Man muss doch "lediglich" eine Funktion finden, deren Summe aus sich selber und ihrer Ableitung 0 ergibt,oder?

Gibt es da eine bestimmte vorgehensweise?

11.06.2014, 12:34

Iorek

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Das "lediglich" ist dabei das Problem. Oftmals kann man so eine Funktion gar nicht explizit angeben.

Hier ist das aber problemlos möglich, das Stichwort "Differentialgleichung" hatte HAL dir auch schon genannt. Da gibt es entsprechende Verfahren, um Differentialgleichungen dieser Form zu lösen (wobei das bei dieser Funktion auch noch elementar machbar ist).

11.06.2014, 12:39

faktor

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Was wäre denn ein solches Verfahren? Dann würde ich mich damit befassen und es einfach mal ausprobieren.

11.06.2014, 12:46

Iorek

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Für homogene lineare Differentialgleichungen gibt es eine Lösungsformel, die sich mit Separation der Variablen herleiten lässt.

11.06.2014, 13:09

HAL 9000

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Noch eine Anmerkung:

(b) und (d) gehören zu den Cauchyschen Funktionalgleichungen, wobei ausführlich nur (b) untersucht werden muss, denn (d) ist mit geeigneter Transformation dann im wesentlichen nur noch eine Folgerung.

11.06.2014, 13:10

Leopold

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Zu (b) und (d).

Bei (b) handelt es sich um die sogenannte Cauchysche Funktionalgleichung. Unter der Voraussetzung der Stetigkeit kann man sie eindeutig lösen. Der klassische Beweis macht eine Art Induktion über den Aufbau des Zahlsystems. Hier kannst du es dir jedoch einfacher machen, da in der Formulierung der Aufgabe die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt ist.

Betrachte die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als Parameter, so daß also $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Rolle einer Konstanten spielt. Was ergibt sich, wenn du beide Seiten nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenzierst? Was kann man daraus über $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgern?

Bei (d) folgt mit $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ , daß $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ gelten muß. Im ersten (uninteressanten) Fall kann man weiter folgern, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann konstant $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Im zweiten Fall folgt mit $\begin{eqnarray*} y=-x \end{eqnarray*}$ weiter: $\begin{eqnarray*} 1 = f(x) \cdot f(-x) \end{eqnarray*}$ , was zeigt, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen besitzen kann. Als differenzierbare Funktion ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig, nach dem Zwischenwertsatz wegen $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ also immer positiv. Man definiert dann $\begin{eqnarray*} g(x) = \ln f(x) \end{eqnarray*}$ und weist für $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ die Funktionalgleichung (b) nach.

Die große Linie habe ich dir nun beschrieben. Jetzt gehe an die Einzelheiten.

11.06.2014, 15:19

HAL 9000

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Alternative Variante für den Start von (d), die noch keine Stetigkeit benötigt:

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \left( f\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Existiert ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ , so folgt für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0)\cdot f(x-x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Es gibt daher die Lösung $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ , und für alle anderen Lösungen ist $\begin{eqnarray*} f(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Weiter dann wie gehabt mit $\begin{eqnarray*} g(x)=\ln(f(x)) \end{eqnarray*}$ und (b).

12.06.2014, 07:04

Leopold

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Zitat:

Original von munchkin
Meine Frage:
"Bestimme alle differenzierbare Funktionen, für die gilt:
1. f'(x) = 2x+1

...

Meine Ideen:
zu 1 habe ich mir gedacht, dass ich einfach das Integral davon berechne, also
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2+x \end{eqnarray*}$
aber ich habe mich gefragt, ob das die einzige ist (weil in der Aufgabe steht ja "alle"),

Nimm an, $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ sei eine weitere Funktion, die 1. erfüllt, und betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g(x) = f(x) - \left( x^2 + x \right) \end{eqnarray*}$

Was ergibt sich für $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ und was kann man daraus folgern?

12.06.2014, 14:20

hella

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hallo,
ich sitze an der selben Aufgabe aber irgendwie konnte ich die Erklärung zu b und d nicht ganz folgen.
Nach Wikipedia-Artikel "Funktionalgleichung" habe ich doch anscheinend bei b) f(x) = ax und d) f(x) = a^x, oder? Aber wie beweise ich das?

12.06.2014, 15:28

HAL 9000

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Im allgemeinen recht mühselig, aber unter der speziellen Voraussetzung der Differenzierbarkeit wird es doch erheblich einfacher - und dazu hat Leopold doch schon was gesagt:

Zitat:

Original von Leopold
Betrachte die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als Parameter, so daß also $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Rolle einer Konstanten spielt. Was ergibt sich, wenn du beide Seiten nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenzierst? Was kann man daraus über $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgern?

12.06.2014, 15:31

hella

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hä dann hätte ich doch nur f'(x) = f'(x) oder nicht, was irgendwie sinnlos wäre...

12.06.2014, 16:47

markus7

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kommt da nicht f'(x+y) = f'(x) raus?

12.06.2014, 17:50

HAL 9000

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Ja, und was bedeutet das angesichts dessen, dass das für beliebige (!) reelle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ gilt?

12.06.2014, 19:28

hella

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dass f'(x+y) >= f'(x) ?
aber ich verstehe immer noch nicht, wie ich jetzt zu f(x) = ax kommen soll

13.06.2014, 07:36

HAL 9000

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Irgendwie ziemlich sinnfrei, die bereits gewonnene Erkenntnis $\begin{eqnarray*} f'(x+y)=f'(x) \end{eqnarray*}$ zur Ungleichung $\begin{eqnarray*} f'(x+y)\geq f'(x) \end{eqnarray*}$ zu verwässern. unglücklich

$\begin{eqnarray*} f'(x+y)=f'(x) \end{eqnarray*}$ bedeutet speziell für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} f'(y)=f'(0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ ist eine konstante Funktion, d.h., es gibt eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x)=a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

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