wahrscheinlichkeitsrechnung

11.06.2014, 13:03

Katjaaa

wahrscheinlichkeitsrechnung

Meine Frage:
Folgende Fragestellung bereitet mir leider Probleme:

wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein 4-stelliger Pincode mindestens eine 0 beinhaltet?

Meine Ideen:
Ich habe versucht das ganze ganz einfach anzugehen (vermutlich mache ich es mir damit zu einfach..):
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stelle des Codes eine 0 beinhaltet müsste bei 1/10 liegen.
Die Wahrscheinlichkeit des ganzen Codes dann bei : 4*(1/10)

Was ist falsch an meinem Gedankengang? Über schnelle Hiölfe würde ich mich sehr freuen!

11.06.2014, 13:19

Leopold

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Daß dein Gedankengang falsch ist, zeigt sofort die Übertragung auf einen 12stelligen Pincode. Analog zu deiner Rechnung müßte dann die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Null $\begin{eqnarray*} 12 \cdot \frac{1}{10} = 120 \, % \end{eqnarray*}$ betragen. Diese Wahrscheinlichkeit ist etwas arg groß. Augenzwinkern

Du multiplizierst einfach zwei Zahlen grundlos miteinander.

Ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ das Ereignis, daß mindestens eine Null im Pincode ist, dann besagt das Gegenereignis $\begin{eqnarray*} \bar{A} \end{eqnarray*}$ , daß gar keine Null im Pincode ist. Fang mal damit an.

11.06.2014, 13:28

Katjaaa

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wahrscheinlichkeitsrechnung
schonmal danke für deine Antwort!

Allerdings bringt mich das leider nicht wirklich weiter. Klar, dass mit den 120% ist logisch und sehr anschaulich. Aber wie komme ich nun weiter?
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einer Stelle des Codes keine 0 vorkommt müsste doch bei 9/10 liegen, oder? Wir haben ja an jeder 10 Möglichkeiten (0-9).

Aber wie übertrage ich das auf die 4 Stellen?

11.06.2014, 13:47

Leopold

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RE: wahrscheinlichkeitsrechnung

Zitat:

Original von Katjaaa
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einer Stelle des Codes keine 0 vorkommt müsste doch bei 9/10 liegen, oder? Wir haben ja an jeder 10 Möglichkeiten (0-9).

Richtig.

Zitat:

Original von Katjaaa
Aber wie übertrage ich das auf die 4 Stellen?

Indem du dir klar machst, daß an der ersten Stelle und an der zweiten Stelle und an der dritten Stelle und an der vierten Stelle keine Null sein darf. Das und deutet auf den Schnitt von Ereignissen hin. Das würde dir allein noch nicht viel helfen. Aber glücklicherweise liegt bei der Wahl der Zahlen für die einzelnen Stellen Unabhängigkeit vor. Davon steht zwar in der Aufgabe nicht ausdrücklich etwas, aber so ist das hier sicher gemeint.

Wenn du aus der Schule die Wahrscheinlichkeitsbäume noch kennst, so läuft das auf eine klassische Bernoulli-Kette hinaus: Erfolg=Null, Mißerfolg=keine Null.

11.06.2014, 14:25

Katjaaaa

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wahrscheinlichkeitsrechnung
Ich habe mich jetzt mit der Bernoullikette auseinandergesetzt:
Ist folgender Ansatz richtig?:

Ich errechne die wahrscheinlichkeit, ob eine 0 in dem Pincode vorkommt:

P(X)= \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * p^k * (1-p) ^(n-k)

Also:

P(1) =\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * 0,1^1 *(1-0,1) ^(4-1)= 0,2916

Also die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Null in dem Code befindet beträgt 0,2916

Wenn ich jetzt den Wert für P(2), P(3) und P(4) errechne und alle Ergebnisse addiere, habe ich dann meine Endlösung gefunden?
Ich hoffe ich befinde mich nciht auf dem völlig falschem Pfad..

11.06.2014, 14:28

Katjaaa

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wahrscheinlichkeitsrechnung
Oohje, Der Formeleditor will leider nicht so wie ich..

Ich meine jeweils einen Vektor: (n/k) bzw (4/1)

11.06.2014, 14:59

Leopold

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1. Um Formeln anzeigen zu lassen, muß du sie in LATEX-Klammern einschließen:

code:
1:	[latex]Hier Formel hineinschreiben[/latex]

2. Binomialkoeffizienten kannst du so schreiben: {{n} \choose {k}}, in LATEX-Klammern sieht das so aus: $\begin{eqnarray*} {{n} \choose {k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ ist kein sinnvoller Ausdruck. Zunächst legt man die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ fest:

$\begin{eqnarray*} X = \text{Anzahl der Nullen im Code} \end{eqnarray*}$

Dann muß mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Aussage formuliert werden. Beispiele:

$\begin{eqnarray*} P(X=1), \ P(X<3), \ P(X>0) \end{eqnarray*}$

Stelle dir einfach überall, wo $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ steht, den Text $\begin{eqnarray*} \text{Anzahl der Nullen im Code} \end{eqnarray*}$ vor.

Das, wofür du $\begin{eqnarray*} P(1) \end{eqnarray*}$ schreibst, lautet korrekt so: $\begin{eqnarray*} P(X=1) \end{eqnarray*}$ .

Die Summe $\begin{eqnarray*} P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) \end{eqnarray*}$ ist dasselbe wie $\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 4) \end{eqnarray*}$ . Sie berechnet die Wahrscheinlichkeit, daß zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ Nullen in deinem Code sind. Das ist das richtige Ergebnis.

Für das Verständnis ist es jedoch besser, über das Gegenereignis zu gehen. Das Gegenteil davon, daß $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ liegt, ist, daß $\begin{eqnarray*} X=0 \end{eqnarray*}$ ist. Daher ist

$\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 4) = 1 - P(X=0) \end{eqnarray*}$

die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Probiere es einmal damit. Hier mußt du nur eine Wahrscheinlichkeit berechnen. Und dafür braucht man nicht einmal Binomialkoeffizienten.

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