Stetigkeit von Funktionen

11.06.2014, 14:14

MarioH

Stetigkeit von Funktionen

Meine Frage:
Aufgabenblatt im Anhang.

Meine Ideen:
Ansätze werden nachgereicht, bisher bin ich noch nicht weit gekommen.
Stehe leider auch unter Zeitdruck, bis morgen muss es abgegeben werden.

11.06.2014, 15:22

Leopold

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RE: Stetigkeit von Funktionen

Zitat:

Original von MarioH
Stehe leider auch unter Zeitdruck, bis morgen muss es abgegeben werden.

Das ist aber ein böser Dozent, der heute ein Aufgabenblatt herausgibt, das ihr morgen schon abgeben müßt. Gibt es an der Uni keine Beschwerdeinstanz, wo man gegen Leute, die einen unter diesen menschenverachtenden Zeitdruck stellen, vorgehen kann?

11.06.2014, 15:51

MarioH

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Nein, das liegt kaum an der "bösen" Dozentin als vielmehr daran, dass ich Freitag-Montag bei einer Tagung war und gestern auch noch andere Übungen machen musste. Augenzwinkern

Wenn man einen Schuldigen finden will, dann bin das wohl ich mit meiner verplanten Art.

11.06.2014, 15:57

Leopold

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Offenbar ist die Ironie in meinem Beitrag nicht rübergekommen. Aber bei deiner Einsichtsfähigkeit tut sie mir fast schon wieder leid. Augenzwinkern

11.06.2014, 16:04

MarioH

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Doch doch, die war schon zu erkennen. Ich kann aber entweder erklären, warum ich einfach früher nicht dazu gekommen bin und den Sarkasmus ignorieren oder mich von ihm angegriffen fühlen... Ersteres klingt für mich einfach besser.
Wenn du jetzt sagst: "Das ist bestimmt einer der dir ganze Woche über nix gemacht hat und nun von mit bis morgen alles gelöst haben will und die Zulassung zur Klausur sicher nicht verdient hat!!!" Ok, aber dann helfen deine Kommentare auch keinem weiter. Ich weiß selbst, dass ich spät dran bin. Es ging nur diese Woche einfach nicht eher und ich hatte gehofft, dass in einem expliziten Frageforum dann eventuell auch Antworten gegeben werden. Ja, es werden Ansätze erwartet, aber da ich keine habe, hab ich eben gehofft ich könnte vielleicht schon einen ersten kleinen Denkansatz als Antwort bekommen - schließlich geht es hier ja darum einander zu helfen und weiter zukommen. Oder nicht?

11.06.2014, 16:06

Leopold

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Mit welcher Aufgabe fangen wir an? Schreib sie hier herein, dann gebe ich auch Hilfen dazu.

11.06.2014, 17:35

MarioH

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Ich bin leider grade noch auf dem Weg heim, daher hab ich nur das:
Aufg 3 a)
f(0)=-5 f(1)=1
Wenn ich jetzt beweise, dass die Funktion stetig ist, dann ist laut Zwischenwertsatz in dem Intervall eine Nullstelle vorhanden. Allerdings finde ich in meinen Unterlagen nur Aussagen über Stetigkeit in einem Punkt...

11.06.2014, 17:53

Iorek

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Eine Aussage der Art "Polynome sind stetig" oder "Summe stetiger Funktionen ist stetig" etc. hattet ihr nicht?

Edit: Sorry, Leopold, ich hatte dich als offline gesehen. Bin hier wieder raus.

11.06.2014, 17:56

Leopold

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Das ist ja schon einmal ein Anfang.

$\begin{eqnarray*} p(x) = x^6 + x^2 + 4x - 5 \end{eqnarray*}$

Es geht aber um das Intervall $\begin{eqnarray*} I = [-1,1] \end{eqnarray*}$ . Beachte die untere Grenze.

Vielleicht hattet ihr den Satz, daß sich Stetigkeit bei den rationalen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division fortpflanzt. Zum Beispiel bei der Addition:

Haben $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ denselben Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ stetig, so ist auch $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig.

Dieser Satz überträgt sich sofort auf die globale Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ :

Sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ stetig, so auch $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ .

Und Entsprechendes gilt für die anderen Grundrechenarten.
Jetzt kann aber eine ganzrationale Funktion aus den offensichtlich stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=c \end{eqnarray*}$ (konstant) durch endlichmalige Anwendung von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen erzeugt werden. Daher ist jede ganzrationale Funktion in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig.

Die Argumentation läßt sich sofort auf rationale Funktionen übertragen.

11.06.2014, 17:58

MarioH

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In einem Halbsatz in einem Beispiel wurde mal hin geschmiert "rationale Funktionen sind in ihrem definitionsbereich stetig". Irgendwie dachte ich aber, dass das nicht reicht, da wir auch nie was dazu bewiesen haben.
Das heißt ich könnte einfach argumentieren, dass es eine Summe von Polynomen und somit stetig ist?

Ah Leopold hat bereits die Antwort gebracht.
Laut Aufgabe muss man ja nur eine Nullstelle zeigen, und wenn die in einem Teilintervall ist ist sie ja auch im gesamten, darum 0 und 1.

11.06.2014, 18:12

Leopold

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Zitat:

Original von MarioH
In einem Halbsatz in einem Beispiel wurde mal hin geschmiert "rationale Funktionen sind in ihrem definitionsbereich stetig".

Bei Vertragsabschlüssen wird einem geraten, das Kleingedruckte zu lesen. Für die Mathematik müssen wir das wohl abwandeln: Beachtet die Halbsätze! Augenzwinkern

11.06.2014, 18:47

MarioH

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Da ist wohl was dran...
Ich mach mal n Sprung und geh zur Aufgabe 1:

f(x) = (x^3 −8)/(x−2)− 12 fuer x != 2
0 fuer x = 2

g(x) =(x^3+8)/(x−2)− 12 fuer x != 2
0 fuer x = 2

f(x) hat im ersten Term für x=2 ja eine Definitionslücke, geht aber mit x->2 gegen 0, was ja auch für x=2 definiert ist. Sollte also stetig sein.

g(x) geht für x->2 von links her nach minus unendl. und von rechts nach plus unendl.
g(2) soll aber 0 sein. Dadurch entsteht ein Sprung (bzw. 2) und sie ist nicht stetig, oder?

Aufg. 2

Die beiden Funktionen für rationale und irrationale Werte haben Schnittpunkte an 1 und -3.
In diesen Schnittpunkten haben die beiden Funktionen also denselben limes und springen nichtmehr hin und her.

12.06.2014, 09:13

Leopold

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Stimmt alles, muß aber gegebenenfalls noch präzisiert werden im Hinblick auf die in der Vorlesung gegebenen Definitionen und die zur Verfügung gestellten Werkzeuge.

12.06.2014, 09:24

MarioH

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Ja, textuelle Antworten werden nicht gerne gesehen. Augenzwinkern

Kann man denn in Aufg. 3 a) die Stetigkeit als trivial ansehen oder sollte ich hier schon noch erklären, dass die einzelnen Polynome und die Konstante stetig sind und dass durch Addition und Subtraktion die Stetigkeit erhalten bleibt?

Den Satz zu f+g hatten wir ebenfalls notiert, nur eben den ersten Satz zur Stetigkeit hatten wir nur in einem Beispiel (wie ich ja erwähnt hatte). Daher sollte der Beweis hier ja überflüssig sein.

Die Begründung für die Nullstelle war dann natürlich mit dem Zwischenwertsatz.

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