globales Minimum bestimmen

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globales Minimum bestimmen
Hallo Leute,

ich stehe leider mit Mathe auf dem Kriegsfuss, muss aber folgende Aufgabe lösen:

Die Gesamtkosten zur Herstellung von x Einheiten eines Gutes seien

C(x)= ax²+bx+c (x>0)

wobei a,b,c positive Konstanten sind. Zeigen Sie, dass die Stückkostenfunktion A(x) = C(x)/x ein globales Minimum besitzt, und bestimmen Sie dessen Lage und Wert.


Meine Idee:

Ich würde zunächst mal die ersten beiden Ableitungen bilden.



Ich hoffe, ihr könnt mir etwas unter die Arme greifen!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Ableitung ist auf jeden Fall schon einmal eine gute Idee.
Im Grunde gehst du hier genau so vor wie sonst auch.
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

die erste Ableitung lautet A'(x)= a-c/x² und die zweite A ''(x)= 2c/x³ ,richtig?

Wie muss ich nun weiter vorgehen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, nein.

Wir sprechen gerade über die Funktion



Deine Ableitungen passen eher zu einer Funktion mit einem gebrochen rationalen Teil, wie
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte ja auch, dass ich A(x)= C(x)/x ableiten müsste, da ich zeigen soll, dass diese Funktion ein globales Minimum hat?!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Man teilt die Kostenfunktion durch x (Stückzahl) wenn du die Stückkostenfunktion bestimmen möchtest, aber um die geht es hier gar nicht.
 
 
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Hm,okay.

Dann lautet die erste Ableitung C '(x)= 2ax+b , richtig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade auf, dass ich die Aufgabenstellung nicht mehr vernünftig im Kopf hatte. Da steht ja man soll die Funktion

A(x)=C(x)/x betrachten...

Die Ableitungen die du vorhin angegeben hast, waren natürlich richtig...
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Oh,okay. Wie muss ich denn nun weiter vorgehen? Die Ableitungen habe ich immerhin schon.

Soweit ich weiss, muss nun das Notwendige Kriterium erfüllt sein: f ' (x0) =0 oder?

Ist dieses erfüllt, muss noch das Hinreichende Kriterium erfüllt sein: f '' (x0) =/= 0 ?!


Wie kann ich das überprüfen, wenn ich diese positiven Konstanten in den Ableitungen habe?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die erste Ableitung und setzt diese ganz normal gleich Null, wie immer.



Nun löst du diese Gleichung, wie immer, nach x auf. Dabei behandelst du die Parameter a und c als ob es normale Zahlen sind. Es geht wirklich genau so wie sonst auch.

Danach musst du deine Lösung in die zweite Ableitung einsetzen. Diese muss aber positiv sein. Es ist in der Aufgabenstellung ja explizit nach einem Minimum gefragt.

Das die zweite Ableitung aber immer positiv ist, ist schnell einzusehen.
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wenn ich nun nach x auflöse erhalte ich x= richtig?

Wenn ich das nun in die zweite Ableitung einsetze erhalte ich ,wobei sich eine Potenz und die Wurzel wegkürzen müssten und dort letztenendlich 2c/(a/c)² steht,oder?

Wie gehts nun weiter?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, deine Lösung ist nicht richtig. Und wenn sie richtig wäre, würde die hälfte fehlen.

Kontrolliere noch einmal deinen Rechenweg. Vielleicht findest du den Fehler selbst, wenn nicht, dann zeige einmal wie du gerechnet hast.
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich glaube, dass ich den Fehler gefunden habe. Es müsste heißen:

x= , oder?

Das muss nun in die 2 Ableitung eingesetzt werden ?!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Bleibt nur noch das mit der halben Antwort übrig, was du vielleicht einfach "intuitiv" weglässt.

Eine quadratische Gleichung wie



hat ja erst einmal zwei Lösungen. Eine negative und eine positive. Die negative Lösung macht hier aber keinen Sinn, weil man ja keine negativen Mengen produzieren kann, weshalb man sie ausschließen kann. Das ganze sollte man aber durchaus vermerken.

Ja, dies kommt nun in die zweite Ableitung. Hier brauchst du auch nicht unbedingt großartig rechnen, eine Begründung warum das nun positiv ist reicht eigentlich schon.
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Die Begründung weshalb die 2 Ableitung positiv ist: da a,b,c positive Konstanten sind und im Zähler 2c steht, muss der Zähler positiv sein.

Der Nenner ist ebenfalls positiv, da, wie du eben angemerkt hast, die negative Lösung keinen Sinn ergibt und daher die positive Lösung die einzig sinnige ist.

Wie muss ich nun weitermachen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, das würde so passen.

Die zweite Ableitung kann nicht negativ sein, da wir nur positive Werte einsetzen.

Naja, wie machen wir nun weiter. Wir haben bisher den x-Wert des Extremums bestimmt und gezeigt, dass es sich dabei um ein Minimum handelt. Fehlt nur noch der y-Wert. Und wie kriegen wir den?
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Für den y Wert für ich einfach den x-Wert in die Ausgangsfunktion C(x) /x einsetzen,null setzen und nach x auflösen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für den y Wert für ich einfach den x-Wert in die Ausgangsfunktion C(x) /x einsetzen


Ja.

Zitat:
,null setzen und nach x auflösen.


Streich das. Einsetzen uns ausrechnen reicht vollkommen aus.
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann hätte ich A(x) = stehen,richtig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst eher:

Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, entschuldige, das meinte ich =)

das ² und die Wurzel dürften sich wegkürzen und der Wurzelausdruck hinter b und der Wurzelausdruck unter dem Bruchstricht auch.

Dann hätte man: (ac/a)+b+c
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie war das mit dem kürzen aus Summen?
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Mist, natürlich darf man nicht in der Summe kürzen.


man hätte also (ac/a+b*(c/a)^0,5)+c / (c/a)^0,5

Ich schreibe das jetzt einfach mal so,weil ich Schwierigkeiten mit dem Editor habe. Ich glaube nicht, dass man das weiter zusammenfassen kann,also wäre das der y-Wert?!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich schön zusammenfassen kann man es nicht.
Das was du geschrieben hast sollte passen, da könntest du noch ein a kürzen, so dass du im Zähler 2c und diesen Wurzelterm mit dem b.
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

dann lautet das globale Minimum ( (c/a)^0,5 / (ac/a+b*(c/a)^0,5)+c / (c/a)^0,5 ) ungekürzt?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schrecklich zu lesen.

Ich sag mal ja. Und wie gesagt
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ,danke.

2 Fragen hätte ich noch: Wofür wird im Aufgabentext die Funktion für die Gesamtkosten angegeben?
Woher weiss ich nun, dass es ein globales und kein lokales Minimum ist?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Minimum welches wir berechnet haben ist lokal, weil betrachtet auf ein bestimmtes Intervall ist dies der tiefste Wert.
Globale Extremwerte werden für gewöhnlich an den "Rändern" angenommen, also wenn du ein ganz bestimmtes Intervall betrachtest, meinetwegen von [0,1] und machen eigentlich auch nur dann Sinn.

Für deine andere Frage habe ich keine sonderlich befriedigende Antwort. Im Grunde hätte man diese Rechnung mit jeder x-beliebigen Funktion durchführen können. Durch die Angabe der Gesamtkostenfunktion will man vielleicht einen Bezug zur Realität herstellen. Wenn man die Gesamtkostenfunktion noch durch x teilt erhält man halt die Stückkosten um die es dann hier im Prinzip ging.
Vollamateur Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, damit kann ich leben smile

Vielen lieben Dank für deine Engelsgeduld mit mir!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.
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