Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen

11.06.2014, 17:19	mathias1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen Meine Frage: [attach]34576[/attach] Meine Ideen: Sofern ich das richtig sehe, ist hier nur der Punkt (0,0) auf Stetigkeit zu überprüfen. Ich habe folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^{2} }{x^{2}+y^{4}}<br /> \end{eqnarray*}$ Nur komme ich hier einfach nicht weiter. Gibt es vielleicht eine andere Variante an dieses Problem heran zu gehen? Vielleicht mit epsilon-delta? Nur weis ich hier einfach nicht wie ich abschätzen soll. Gruß Gruß
11.06.2014, 17:44	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo erstens muss du herausfinden, welcher kritische Punkt untersucht werden muss. Ja richtig, (0,0). dann muss für die Stetigkeit gelten, dass der Genzwert auf jeden "Weg" auf diesen Punkt gleich dem Funktionswert an dieser Stelle sein muss. Am besten macht man dann Versuche, auf bestimmten "Wegen" gegen diesen Punkt zu gehen (Limes) z.B. auf der Winkelhalbierenden $\begin{eqnarray} y=x \end{eqnarray}$ oder andere kreativere Wege sodass sich der Term möglichst vereinfacht . Eventuell findet man dann einen Weg, für den der Limes nicht gleich dem Funktionswert ist. Dann ist die Funktion in diesem Punkt unstetig. Gruß
11.06.2014, 17:54	mathias1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Laut wolfram-alpha ist dieser Grenzwert 0. Somit ist die Funktion an diesem Punkt stetig und deshalb hilft dieser Ansatz, soweit ich das richtig sehe, nicht. Oder sehe ich das falsch? Gruß EDIT: Wenn ich nun $\begin{eqnarray} y = \sqrt{x} \end{eqnarray}$ setze komme ich auf folgenden Ausdruck: $\begin{eqnarray} \frac{x\sqrt{x^{2}} }{x^{2}+\sqrt{x^{4}} } = \frac{x^{2}}{2x^{2}} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Somit kann ich immer mit x und y gegen 0 gehen und es kommt immer 1/2 raus. Somit ist diese Funktion nicht stetig. Stimmt das? Gruß
11.06.2014, 18:02	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo was interessiert dich Wolfram Alpha? Egal wie ich mich dem Punkt $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ auf der xy-Ebene nähere, in jedem Fall muss (!) der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^{2} }{x^{2}+y^{4}} = f(x=0,y=0) = 0 \end{eqnarray}$ sein. sei $\begin{eqnarray} y = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
11.06.2014, 18:06	mathias1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo $\begin{eqnarray} y= \sqrt{x} \end{eqnarray}$ funktiert, da immer 1/2 raus kommt. Danke
12.06.2014, 22:59	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ja, die Funktion ist auf jeden Fall unstetig, weil für den speziellen Grenzwert 1/2 herauskommt, 1/2 aber nicht dem Funktionswert entspricht, was aber im Falle der Stetigkeit immer so sein muss. Grüße
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