Differenzierbarkeit in mehreren Variablen

11.06.2014, 19:20	mathias1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit in mehreren Variablen Meine Frage: [attach]34578[/attach] Meine Ideen: Hallo, ich bin folgend an die Aufgabe herangegangen und möchte gerne wissen ob es so stimmt. zu a) es ist differenzierbar wenn eine lineare Abbildung l(x) exisitiert mit: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{h \to 0} \frac{1}{\|\|h\|\|} (f(a+h)-f(a)-l(h)) = 0<br /> \end{eqnarray}$ Zuerst habe ich $\begin{eqnarray} x+e^{z}+y \end{eqnarray}$ untersucht. Sei $\begin{eqnarray} l(x)=x_{1}+x_{2} \end{eqnarray}$ Limes ergibt dann gekürzt: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{h \to 0} \frac{e^{a_{3}}(e^{h_{3}}-1)}{\|\|h\|\|}=e^{a_{3}}\lim_{h \to 0} \frac{e^{h_{3}}-1}{h_{3}} \frac{h_{3}}{\|\|h\|\|} = e^{a_{3}}\lim_{h \to 0} 10 = 0<br /> \end{eqnarray}$ Untersuchung von $\begin{eqnarray} yx^{2} \end{eqnarray}$ : Sei $\begin{eqnarray} l(x)=0 \end{eqnarray}$ . Limes gekürzt ergibt dann: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{h \to 0} (2a_{1}a_{2}\frac{h_{1}}{\|\|h\|\|}+a_{2}\frac{h_{1}^{2} }{\|\|h\|\|}+a_{1}^{2}\frac{h_{2}}{\|\|h\|\|}+2a_{1}\frac{h_{1}h_{2}}{\|\|h\|\|}+\frac{h_{1}^{2}h_{2} }{\|\|h\|\|})<br /> \end{eqnarray}$ Ist es richtig wenn ich sage, dass jeder der Brüche gegen 0 geht, da \|\|h\|\| immer später gegen 0 geht und somit ist der gesamte Ausdruck 0? zu b) (habe das Zeichen fürs partielle Diff nicht gefunden, $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ als Ersatz) $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\delta f}{\delta x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2xy \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\delta f}{\delta y} = \begin{pmatrix} 1 \\ x^{2} \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\delta f}{\delta z} = \begin{pmatrix} e^{z} \\ 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Alle partiellen Ableitungen sind stetig. Kann ich nun sagen es ist differenzierbar? Gruß

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