Schwerpunkt berechnen von einem dreiseitiges Dreieck

11.06.2014, 20:01	molitschka	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt berechnen von einem dreiseitiges Dreieck Meine Frage: Hallo zusammen, ich brauche dringend Hilfe!! Ich bereite gerade eine Präsentation vor und soll den Schwerpunkt einer dreiseitigen Pyramide berechnen, welches aber kein Tetraeder sein soll. Die Formel für die Schwerpunktberechnung ist ja 1/4(a+b+c+d) Gibt es denn eine Herleitung für diese Formel? Ich wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr mir helfen könntet!!! LG Meine Ideen: Eine weitere Möglichkeit den Schwerpunkt auszurechnen wäre doch, den Schnittpunkt der zwei roten Geraden zu bestimmen: http://www0.xup.in/exec/ximg.php?fid=89799119, oder?
11.06.2014, 20:44	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt berechnen von einem dreiseitiges Dreieck Das kommt darauf an. Natürlich könnte man zeigen, dass die räumlichen Schwerelinien sich in S schneiden. Vorher müssten man zeigen, dass die Flächenschwerelinien sich in den Flächenschwrpunkten schneiden ... Grundsätzlich ist damit nur gezeigt, dass S der Schwerpunkt der Eckpunkte ist. Das ist aber leicht einzusehen, da der Schwerpunkt nur das arithmetische Mittel der Koordinaten ist. Warum der dann auch der Schwerpunkt des homogenen Tetraeders ist, ist noch offen. es gilt also ohne Beweis: $\begin{eqnarray} \vec s =\tfrac 14 (\vec a +\vec b +\vec c +\vec d ) \end{eqnarray}$ Wobei diese Vektoren die Ortsvektoren zu den Eckpunkten A,B,C,D sind.
11.06.2014, 21:06	molitschka	Auf diesen Beitrag antworten »
Verhältnis 3:1 Vielen dank erstmal!! Jetzt habe ich noch eine Frage: Der Schwerpunkt teilt die Strecke zwischen dem Eckpunkt und den Schwerpunkt der gegenüberliegenden Seite im Verhältnis 3:1. Aber wie kommt das zustande? Kann mir jemand dafür eine Herleitung geben? Bei dem Schwerpunkt eines Dreiecks ist das Verhältnis 2:1, was ich durch eine Ableitung auch nachvollziehen kann. Wie kommt das 3:1 zustande??
11.06.2014, 21:13	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Da du offline bist und ich im Moment nix zu tun habe: Du könntest ja einen elementaren Einstieg damit haben, indem du zeigst, daß eine homogene Strecke = Stab den Schwerpunkt in der Mitte hat. Sei $\begin{eqnarray} \overline {A,B} \end{eqnarray}$ eine homogene Strecke auf der x-Achse, dann muss für den Schwerpunkt C gelten: $\begin{eqnarray} \underbrace {\int_a^c \, (c-x) \cdot 1 \dd x }_{\text {linkes Drehmoment}}+\underbrace {\int_c^b \, (c-x) \cdot 1 \dd x }_{\text {rechtes Drehmoment}}=0 \end{eqnarray}$ wobei unschwer $\begin{eqnarray} c=\frac {a+b}{2} \end{eqnarray}$ folgt. edit: soll ich zur neuen Frage auch Stellung beziehen ?
11.06.2014, 21:22	molitschka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das wäre wirklich super, danke!!
11.06.2014, 21:43	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
na ja , wenn es sein muss die folgenden Bezeichner beziehen sich auf deine Vorlage. ein geschlossener Vektorzug liefert: 1.) $\begin{eqnarray} \lambda \overrightarrow {AS_A}+\mu \overrightarrow {DS_D} -\tfrac 23 \overrightarrow {AM}= \vec 0 \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} \vec s_A=\tfrac 13(\vec a +\vec b +\vec c ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec s_D=\tfrac 13(\vec a +\vec b ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec m=\tfrac 12(\vec a +\vec b) \end{eqnarray}$ vollständige Auflösung von 1.) sollte unter Verwendung der linearen Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} \vec a \, \vec b \, \vec c \end{eqnarray}$ die Werte 3/4 , 1/4 für die Parameter liefern.
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