Zeigen dass o?enen Mengen bzgl. der Metrik d die gleichen sind wie bzgl. d'

11.06.2014, 21:29	cyk88	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen dass o?enen Mengen bzgl. der Metrik d die gleichen sind wie bzgl. d' Meine Frage: Hallo ich weiß leider nicht so ganz weiter bei folgender Aufgabe: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Auf X werde eine neue Metrik d' definiert durch: $\begin{eqnarray} d'(x,y):=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass die offene Mengen bzgl. der Metrik d' die gleichen sind wie bzgl. der Ausgangsmetrik d Meine Ideen: Ich habe leider keine Idee wie ich da vorgehen muss muss :-/ Vielen Dank für eure Hilfe
11.06.2014, 21:48	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} M\subset X \end{eqnarray}$ offen ist, dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}(x)\subset M \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist, dass es auch ein $\begin{eqnarray} \varepsilon'>0 \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} U'_{\varepsilon'}(x)\subset M \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} U_{\varepsilon}(x):=\left\{ y\in M \|d(x,y)<\varepsilon\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U'_{\varepsilon'}(x):=\left\{ y\in M \|d'(x,y)<\varepsilon'\right\} \end{eqnarray}$ . Versuch doch mal aus der Existenz von $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ die Existenz von $\begin{eqnarray} \varepsilon' \end{eqnarray}$ zu zeigen

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