Simultan Diagonalisierbar?

11.06.2014, 22:53

voodoo666

Simultan Diagonalisierbar?

[attach]34579[/attach]
Diesen Beweis soll ich führen. Ich kann es jedoch nicht, da ich schon an den Begrifflichkeiten scheiter.

Was genau bedeutet simultan diagonalisierbar? Ich besitze das Buch zur Vorlesung und besuche die Vorlesung, dieser Begriff wurde meines Erachtens nicht definiert. Was kann ich mir darunter vorstellen?

Danke smile

12.06.2014, 08:15

tmo

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Simultan diagonalisierbar bedeutet, dass die Abbildungen eine gemeinsame Basis aus Eigenvektoren haben.

So wie die Aufgabe gestellt ist, vermute ich übrigens folgendes:
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass zwei (oder bel. viele) diagonalisierbare (paarweise) kommutierende Endomorphismen stets simultan diagonalisierbar sind.

Hier wird nun untersucht, was passiert, wenn man nur von einem der beiden Endomorphismen die Diagonalisierbarkeit fordert.

Falls dem nicht so ist: Macht nix, die Aufgabe kann man auch ohne diesen Hintergrund ohne Weiteres lösen.

12.06.2014, 13:19

voodoo666

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Zitat:

Original von tmo
Simultan diagonalisierbar bedeutet, dass die Abbildungen eine gemeinsame Basis aus Eigenvektoren haben.

So wie die Aufgabe gestellt ist, vermute ich übrigens folgendes:
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass zwei (oder bel. viele) diagonalisierbare (paarweise) kommutierende Endomorphismen stets simultan diagonalisierbar sind.

Hier wird nun untersucht, was passiert, wenn man nur von einem der beiden Endomorphismen die Diagonalisierbarkeit fordert.

Falls dem nicht so ist: Macht nix, die Aufgabe kann man auch ohne diesen Hintergrund ohne Weiteres lösen.

Hi tmo, danke für die Antwort. Zu deiner Vermutung, der Begriff "simultan diagonalisierbar" ist in der VL bis dato noch nicht gefallen!

Zu a) momentan bin ich noch auf keinem grünen Zweig. Habe jedoch einige Ideen die ich weiter untersuchen werde.

Zu b) Angesichts der Aufgabenstellung gehe ich davon aus dass die Aussage zu widerlegen ist. Ich habe einmal folgendes Gegenbeispiel konstruiert:
$\begin{eqnarray*} V=\mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

f und g sind offensichtlicherweise linear und kommutieren. f ist diagonalisierbar.
g ist nicht diagonalisierbar, da das char. Polynom über $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R \end{eqnarray*}$
nicht in Linearfaktoren zerfällt.

=> f und g sind nicht simultan diag.
Passt das soweit? Hast du vlt einen Tipp wie man bei a) vorgehen kann?
Grüße

EDIT: Die Klammern bei f und b sollen eckig/rund sein, ich meine damit Matrizen, nicht die Determinante smile

13.06.2014, 10:46

tmo

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Ja, dein Gegenbeispiel zur b) stimmt natürlich. Generell tut's die Identität zusammen mit irgendeinem Endomorphismus, der nicht diagonalisierbar ist.

16.06.2014, 11:06

voodoo666

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Danke für die erneute Antwort.
Komme beim Beweis immer noch nicht weiter, leider.
Ich weiss also f hat n paarweise verschiedene Eigenwerte. Das heisst f ist diagonalisierbar.
Schaue ich mir nun diese EV unter g(f) bzw f(g) an, so komme ich auf folgende schlussfolgerung:
$\begin{eqnarray*} Sei v\in V, v \neq 0 \end{eqnarray*}$ EV von f zum EW $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(g(v)) = \lambda * g(v) = g(f(v)) \end{eqnarray*}$

Man müsste noch zeigen dass $\begin{eqnarray*} g(v) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann folgt dass gv ein EV von f zum EW $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist.
Daraus folgt dann insbesondere:
$\begin{eqnarray*} g(V_{f}(\lambda)) \subseteq V_{f}(\lambda) \end{eqnarray*}$

Bringt mir das was? Ich weiss nicht wie es ab heir weitergehen könnte.

Grüße

16.06.2014, 22:32

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Welche Dimension haben die Eigenräume von f ?
Und g(v)=0 kann durchaus vorkommen. Dann ist v Eigenvektor von v zu welchem EW?

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Simultan Diagonalisierbar?

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