Grenzwert bestimmen mit l'hopital

12.06.2014, 09:15

ötzi

Grenzwert bestimmen mit l'hopital

Hallo,

ich soll folgende Grenzwerte bestimmen.

a) lim x-> 0 x/e^x
b) lim x-> 0+ (1/x + lnx) Was ist überhaupt ln*x ?? Oder meint ihr das ist ein Tippfehler und soll ln(x) bedeuten
c) lim x -> inf (nte Wurzel von n -1)
d) lim x -> 1- ln(x) * ln(1-x) ln(1-x) wäre doch hier ln(1-1) = ln(0) = error

Nun wurde uns der Tipp gegeben, das wir hier l'hopital anwenden sollen.
Also muss ich das alles so umformen, dass ich l'hopital anwenden darf.
Nur weiss ich nicht wie ich das machen soll. Hierzu muss es wohl irgendwelche Tricks geben, die ich noch nicht kenne???
Kann mir bitte jemand helfen

12.06.2014, 09:29

voodoo666

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RE: Grenzwert bestimmen mit l'hopital
Wann darf man denn L'Hopital anwenden? Weiist du das?

zu b) lnx ist eine Schreibweise von ln(x). ln*x macht keinen Sinn, denn der ln braucht als Funktion einen Eingabewert.

Schau dir nochmal deine Vorlesungsunterlagen an, wann du genau den LH benutzen darfst. Dann versuch deine Terme so umzuformen smile

12.06.2014, 09:41

ötzi

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RE: Grenzwert bestimmen mit l'hopital
Bei uns im Skript steht, dass man l'hopital anwenden darf, wenn man etwa sin der Form inf/inf hat oder 0/0.

Mehr steht da nicht. Habe auch schon im Netz gelesen, dass man LH anwenden darf, wenn man 0*inf hat, aber das steht bei uns nicht.

Ich komm einfach nicht drauf, wie ich das alles umformen muss.

Hilfe bitte, ich verzweifle.

12.06.2014, 11:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von ötzi
d) lim x -> 1- ln(x) * ln(1-x) ln(1-x) wäre doch hier ln(1-1) = ln(0) = error

Hier muss man ja paarmal hinschauen, und ist sich dann doch immer noch nicht sicher, was du damit meinst: Soll das

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1-} \ln(x)\cdot \ln(1-x) \end{eqnarray*}$

bedeuten? verwirrt

12.06.2014, 11:45

voodoo666

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RE: Grenzwert bestimmen mit l'hopital

Zitat:

Original von ötzi
Bei uns im Skript steht, dass man l'hopital anwenden darf, wenn man etwa sin der Form inf/inf hat oder 0/0.

Mehr steht da nicht. Habe auch schon im Netz gelesen, dass man LH anwenden darf, wenn man 0*inf hat, aber das steht bei uns nicht.

Ich komm einfach nicht drauf, wie ich das alles umformen muss.

Hilfe bitte, ich verzweifle.

Korrekt. Bei a) muss man meiner Meinung nach gar keinen LH anwenden. Schauen wir uns mal d) an. Wir wollen also die Gleichung so umformen, dass wir einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ haben, denn dann können wir LH anwenden. Ein Trick ist beispielsweise, die Gleichung einfach mittels den Kehrwerten umzuschreiben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1-} \ln(x)\cdot \ln(1-x) = \lim_{x\to 1-} \frac{\ln(1-x)}{\frac{1}{\ln(x)} } \end{eqnarray*}$

Gegenwas strebt nun dein Nenner/Zähler. Kannst du nun LH anwenden? Grüße

12.06.2014, 14:21

ötzi

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ja aber was ist denn lim x-> 1- ln(x-1)??

Ich hätte jetzt einfach das hier gemacht:
lim x-> 1- ln(x-1) = ln(1-1) = ln(0) = -inf
aber ist das korrekt?

und zum Zähler:
lim x-> 1- 1/ln(x) = 1/0 = inf
weiss nicht ob das richtig ist.

12.06.2014, 15:12

HAL 9000

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Wenn auch etwas schlampig aufgeschrieben: Es ist insofern korrekt, dass du angesichts der Struktur $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ jetzt weißt, dass du L'Hospital überhaupt anwenden darfst.

P.S.: Es ist übrigens

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1-} \frac{1}{\ln(x)} = -\infty \end{eqnarray*}$ ,

schließlich ist $\begin{eqnarray*} \ln(x)<0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ , und wir nähern uns ja bei $\begin{eqnarray*} x\to 1- \end{eqnarray*}$ der 1 von unten.

12.06.2014, 19:26

ötzi

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hmmm okay, danke soweit. Ich komm nun aber nach der Ableitung nicht mehr weiter.

Nachdem man LH anwendet folgt nun:

lim x->1- (1/(1-x)*1/ln(x) - ln(1-x) * 1/x) / (1/ln(x))^2

Wie komm ich denn nun auf den Grenzwert?

ich kann ja jetzt aufspalten

= Lim x->1- 1/(1+x) // hier müsste ja 0 rauskommen
* lim x->1- 1/ln(x) // hier wie eben von dir erfahren -inf

- lim x->1- ln(1-x) * // hier habe ich gar keine Ahnung unglücklich

lim x->1- 1/x // hier -1

/

lim x->1- (1/ln(x))^2 // hier auch -inf???

Ich weiss grundsätzlich nicht ob ich hier so vorgehen darf

13.06.2014, 09:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von ötzi
Nachdem man LH anwendet folgt nun:

lim x->1- (1/(1-x)*1/ln(x) - ln(1-x) * 1/x) / (1/ln(x))^2

Ich hatte angenommen, du wendest L'Hospital

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1-} \frac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x\to 1-} \frac{u'(x)}{v'(x)} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} u(x)=\ln(1-x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x) = \frac{1}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ an? Sieht aber irgendwie nicht so aus - was stellt das also dar, was du da machst? verwirrt

P.S.: Und es wäre der Leserlichkeit sicher förderlich, wenn du dich endlich mal etwas an das LaTeX gewöhnen könntest. Eine ganze Anzahl Vorlagen hast du ja bereits durch die diversen Threadbeiträge hier, einfach mal auf "Zitat" drücken und (teilweise) übernehmen.

13.06.2014, 11:33

ötzi

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Ich habe dummerweise das Quotientenkriterium angewandt. Ich werde das nochmal prüfen. DANKE

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