Term Umformung

12.06.2014, 11:16	SaidNekbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Term Umformung Meine Frage: Hallo, liebe Community Kann mir bitte jemand bei der Umformung helfen? Habe die Aufgabe aus dem Königsberger und es geht um den Induktionsbeweis. $\begin{eqnarray} (1+x)(1+x²)(1+x hoch4)... (1+x²(n)) \end{eqnarray}$ hier soll das (n) heißen dass, die Hoch 2 hoch n genommen wird. $\begin{eqnarray} = \frac{1-x²(n+1)}{1-x} \end{eqnarray}$ hier heiß wieder (n+1) das die hoch 2 hoch (n+1) genommen wird. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \frac{1-x(²)(n+1)}{1-x}(1x²(n+1)=\frac{1-x²(n+2)}{1-x} \end{eqnarray*}$ Mein Problem ist das ich nicht weiß wie auf der linken und der rechten den Term so umforme, dass ich das gleiche rausbekomme.
12.06.2014, 11:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht also um das für $\begin{eqnarray} x\neq 1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ gültige $\begin{eqnarray} (1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots \left(1+x^{2^n}\right) = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} \end{eqnarray}$ . Vollständige Induktion würde sich hier als Beweismittel anbieten. Was du da unter "Meine Ideen" gepostet hast, ist für mich dann doch nicht mehr entzifferbar. Im Induktionsschritt nutzt man im wesentlichen die dritte binomische Formel $\begin{eqnarray} (1-a)(1+a) = 1-a^2 \end{eqnarray}$ , und zwar für $\begin{eqnarray} a=x^{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ , denn dann ist $\begin{eqnarray} a^2 = \left( x^{2^{n+1}} \right)^2 = x^{2^{n+1}\cdot 2} = x^{2^{n+2}} \end{eqnarray}$ .
13.06.2014, 11:18	SaidNekbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Also mein Gedanke war es $\begin{eqnarray} (1+x)(1+x²)(1+x^4)...(1+x^{2^n})=\frac {1-x^{2^{n+1}}}{1-x} \end{eqnarray}$ I. A.: $\begin{eqnarray} (1+x^{2^{0}} \end{eqnarray}$ ) wenn ich für x = 2 einsetze komm ich auf der linken Seite auf $\begin{eqnarray} 1+2^{2^{0}}= 1+2^{1}=3 \end{eqnarray}$ Auf der rechten Seite komme ich auf $\begin{eqnarray} \frac {1-2^{2^{0+1}}}{1-2}=\frac {-3}{-1}=3 \end{eqnarray}$ Danach mache ich beim Induktionsschritt: I.S.: $\begin{eqnarray} (1+x)(1+x%B2)(1+x^4)...(1+x^{2^n})(1+x^{2^{n+1}})=\frac%20{1-x^{2^{n+2}}}{1-x} \end{eqnarray}$ Mithilfe der Induktionsvorraussetzung habe ich dann $\begin{eqnarray} \frac {1-x^{2^{n+1}}}{1-x}(1+x^{2^{n+1}})=\frac {1-x^{2^{n+2}}}{1-x} \end{eqnarray*}$
13.06.2014, 11:42	SaidNekbin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Term Umformung hab nochmal drüber gekuckt und der Groschen ist gefallen. Danke nochmal

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