Punkt P bestimmen, mit selben Abstand zu anderen Punkten

12.06.2014, 16:42	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt P bestimmen, mit selben Abstand zu anderen Punkten Hallo Gegeben sind die Punkte A (0; 0; 0), B (4; 0; 0), C (4; 4; 2), D (0; 4; 2) und S (2; -1: 7). ABCD bilden die rechteckige Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S. Die Punkte M und S legen eine Gerade g fest. Auf ihr gibt es einen Punkt P der Art, dass die Punkte A, B, C, D und S den gleichen Abstand zu P haben. Berechnen Sie die Koordinaten von P. Erstmal M berechnen: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M (2; 2; 1) \end{eqnarray}$ Die Geradengleichung: $\begin{eqnarray} g_{MS} : \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + r \cdot \overrightarrow{MS} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 - 3r \\ 1 + 6r \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{SP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 - 3r \\ -6 + 6r \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\overrightarrow{AP}\| = \|\overrightarrow{SP}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{2² + (2 - 3r)² + (1 + 6r)²} = \sqrt{(1 - 3r)² + (-6 + 6r)²} \end{eqnarray}$ Nun quadrieren und die Klammern auflösen, dann nach r. $\begin{eqnarray} 4 + (9r² - 12r + 4) + (36r² + 12r + 1) = (9r² - 6r + 1) + (36r² - 72r + 36) \end{eqnarray}$ Zusammengefasst sieht das so aus: $\begin{eqnarray} 45r² + 9 = 45r² - 78r + 37 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = \frac{14}{39} \end{eqnarray}$ Das kann aber nicht stimmen. Wenn ich jetzt alle Abstände zu P berechne, bekomme ich unterschiedliche Ergebnisse. Wo liegt mein Fehler? Ich denk mal irgendwo beim Klammern ausmultiplizieren/bin. Formeln, aber ich seh ihn einfach nicht.
12.06.2014, 17:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Wunder: Die Spitze S liegt NICHT auf der Normalen zu der Basisebene durch den Mittelpunkt. mY+
12.06.2014, 17:29	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh.. 3 - 3r Dann stimmt es jetzt, danke
12.06.2014, 18:32	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal kurz eine Frage: Weißt du/ihr, wo man ähnliche solcher Aufgaben herkriegt? Ich finde sie relativ anspruchsvoll, bei denen man schnell Fehler macht, insbesondere beim Auflösen der Wurzelausdrücke. Haben heute in der Schule so eine Aufgabe gemacht und ich fand meinen Fehler erst beim dritten mal neu rechnen, da ich immer wieder irgendwo was dummes falsch gemacht hab. Würde das gerne üben, damit mir das nicht mehr so oft passiert.

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