Stetige Fortsetzung mit Folgenkriterium widerlegen

12.06.2014, 17:06

ann1

Stetige Fortsetzung mit Folgenkriterium widerlegen

geg.
f: IR^2 \ { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ } -> IR

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> f(x,y):= $\begin{eqnarray*} \frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Sei F die stetige Fortsetzung von f, falls vorhanden.

Nach dem Folgenkriterium muss f JEDE Folge aus IR^2 gelten:
$\begin{eqnarray*} x_{k} \end{eqnarray*}$ -> a in IR^2
$\begin{eqnarray*} f(x_{k}) \end{eqnarray*}$ -> f(a) in IR^2

Trifft dies f jede Folge zu, ist f stetig.

Fragen:
1.
-Zum Nachweis kann ich jetzt irgendeine x-beliebige Folge wählen?
In meiner vorliegenden Lösung wurde
$\begin{eqnarray*} x_{k} = \begin{pmatrix} 1/k \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gewählt.
-Ist diese Auswahl beliebig oder eine geziehlte Auswahl nach einem Gegenbeispiel?
-Oder wurde dies ausgewaehlt, weil dieses x_k f k->unendlich gegen a=(0,0) geht?
f(x_k) geht ja auch gegen a
Das wäre dann mal keine Widerlegung der stetigen Fortsetzbarkeit.

2.
Und wie produziere ich denn hier jetzt einen Widerspruch, wenn ich weiß, dass die geg. Fktn NICHT stetig fortsetzbar ist? Also welcher Form ist dieser Widerspruch bzgl. des Folgenkriteriums? Gilt es, eine andere Folge y_k zu suchen mit
y_k -> a
aber f(y_k) geht nicht gegen f(a) oder so?

3.
Spielt es eine Rolle, wann ich wo die Elemente aus IR^2 als zeilen- oder Spaltenvektoren schreibe?

12.06.2014, 17:39

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

-Zum Nachweis kann ich jetzt irgendeine x-beliebige Folge wählen?

Um zu zeigen, das Stetigkeit vorliegt, nein.

Zitat:

-Ist diese Auswahl beliebig oder eine geziehlte Auswahl nach einem Gegenbeispiel?

Als Gegenbeispiel wird man ein geeignete Folge wählen.

2. Genau.

3. Eigentlich nicht, der Bildraum ist ja sowieso $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Stetige Fortsetzung mit Folgenkriterium widerlegen

Verwandte Themen