cauchy folge?!

12.06.2014, 17:20

akamanston

cauchy folge?!

gegeben: $\begin{eqnarray*} \alpha \in [0,\frac{1}{2} [ \end{eqnarray*}$ und die rekursiv definierte folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{N_{0} } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{0}\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=1-\alpha a_{n}^2 \end{eqnarray*}$

nun soll konvergenz gezeigt werden. ich vermute mal man muss zeigen, dass das eine cauchy folge ist. kann wer helfen^^

12.06.2014, 17:35

bijektion

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Du könntest einfach zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ monoton und beschränkt ist Freude

12.06.2014, 17:44

akamanston

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RE: cauchy folge?!
wie sehen denn die ersten paar glieder zB a_0+1, a_1+1, a_2+1 denn überhaupt aus? sind ja alle abhängig von a_0?

Zitat:

Du könntest einfach zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ monoton und beschränkt ist Freude

beschränkt ist sie weil $\begin{eqnarray*} \alpha \in [0,\frac{1}{2} [ \end{eqnarray*}$ ist ?

12.06.2014, 17:48

bijektion

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Ja. $\begin{eqnarray*} a_1=1-\alpha\cdot a_0^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_2=1-\alpha\cdot a_1^2 \end{eqnarray*}$ etc..

Zitat:

beschränkt ist sie weil $\begin{eqnarray*} \alpha \in [0,\frac{1}{2} [ \end{eqnarray*}$ ist ?

Das müsstest du erstmal überprüfen.

12.06.2014, 17:56

akamanston

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dann schaue ich mir mal die folge an, wenn ich die jeweiligen grenzen einsetze?

also für $\begin{eqnarray*} \alpha =0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \alpha =\frac{1}{2} [ \end{eqnarray*}$ auch wenn 0,5 halt gerade eben nicht drin ist.

muss ich da $\begin{eqnarray*} a_{0}\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ auch beachten?

kann ich einfach sagen, ich wähle a=-1?

12.06.2014, 18:03

bijektion

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Du sollst gar nichts wählen. Es ist $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,a_2\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ , jetzt versuch doch mal eine Schranke zu finden. Das dies tatsächlich eine Schranke ist, kannst du mit Induktion zeigen.

12.06.2014, 18:17

akamanston

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ohwei^^

also $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=1-\alpha a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ mit induktion zeigen?

wenn ich IA mache, dann weiß ich doch gar nicht ob das erfüllt ist für n=1 zB: $\begin{eqnarray*} a_{1+1}=1-\alpha a_{1}^2 \end{eqnarray*}$

12.06.2014, 18:20

bijektion

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Das brauchst du nicht zeigen, so ist die Folge definiert. Du könntest erstmal zeigen, dass es eine Zahl $\begin{eqnarray*} S>0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sicherlich $\begin{eqnarray*} |a_n|<S \end{eqnarray*}$ .

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