Erzeuger normierter Ideale, GGT von Polynomen

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MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeuger normierter Ideale, GGT von Polynomen
Hallo, ich muss unter anderem (die anderen bestimme ich eigenständig, sobald ich verstanden habe, wie das funktioniert) für folgendes Ideal den normierten Erzeuger bestimmen:
.

Meine Ideen/Ansätze:

Wir haben im Tutorium gesagt bekommen man könne dies anhand des GGTs ganz leicht bestimmen. Ich kannte den GGT bisher nur für ganze Zahlen und nicht für Polynome. Ich habe gelesen dies würde durch Polynomdivision funktionieren und ein Rechner im Internet hat als Ergebnis 1 ausgespuckt. Leider sind meine eigenen Rechenversuche weit entfernt von diesem Ergebnis. Deshalb folgende Fragen:

1. Wie berechne ich den GGT eines Polynoms (an obigem Beispiel)?
2. Ist der errechnete GGT bereits der Erzeuger des Ideals oder ist der GGT nur ein Hinweis bzw. ein Zwischenschritt auf dem Weg zum eigentlichen Erzeuger?

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar Big Laugh
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ein Ideal macht eigentlich nur zusammen mit dem Ring in dem es Ideal ist Sinn. Was der Erzeuger ist, bzw. ob er überhaupt existiert, hängt vom Ring ab.
Ist z.B. R=k[X] für einen Körper k so ist 1 ein Erzeuger.

Im Allgemeinen berechnet man den ggT am Besten dem mit euklidischen Algorithmus. Polynomdivision ist nur bei bekannten nullstellen nützlich, also praktisch nie.

Der ggT ist Erzeuger, falls er existiert. Da du daran zweifelst wäre es eine gute Übung das zu zeigen.
MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort. Ja ich habe vergessen zu erwähnen, dass es sich um den Polynomring handelt.

Ja, das würde ich gerne tun. Nur habe ich leider keine Ahnung, wie man den GGT von Polynomen bestimmt.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nur habe ich leider keine Ahnung, wie man den GGT von Polynomen bestimmt.

darauf hab ich doch bereits geantwortet:
Zitat:
Im Allgemeinen berechnet man den ggT am Besten dem mit euklidischen Algorithmus.

Ist dir überhaupt klar was der ggT ist?

Zitat:
Ja ich habe vergessen zu erwähnen, dass es sich um den Polynomring handelt.

Das ist hier ein massives Versäumnis, denn damit muss hier gar nicht mehr gerechnet werden.
MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich. Mir ist auch der euklidische Algorithmus bekannt.
Zum Beispiel kann man den ggT(32,74) berechnen indem man rechnet:
74=2 *32 +10
32 = 3*10+2
10= 5*2

Und somit gilt ggT(74,32)=2 (quasi der letze Rest bevor der Rest 0 wurde)
Leider weiß ich nicht genau wie ich das anwenden muss, um das mit Polynomen durchzuführen.
Ich habe es probiert und bin leider nicht annähernd auf die 1 gekommen.


Wieso muss im Falle nicht mehr gerechnet werden?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Euklidischer Algorithmus ist ein Sammelbegriff.
Man kann mit Polynomen fast genauso rechnen wie mit Zahlen. Die restfunktion ist dabei nicht der Betrag, sondern die gradfunktion von Polynomen.


Zitat:
Wieso muss im Falle nicht mehr gerechnet werden?

Weil ein Halbsatzargument langt am den ggT 1 zu bestimmen.
 
 
MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ok, ich versuche es nochmal, den GGT zu bestimmen.

Was genau meinst du damit, den GGT mit einem Halbsatzargument zu bestimmen?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ggT kann man hier durch bloßes hinsehen feststellen. Aufgrund der gewählten Polynome ist das hier wohl auch so gedacht, dass ihr schlicht die Augen aufmachen sollt.

Tipp:
Der dritte Erzeuger ist der entscheidende.
MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann also folgende Überlegung: ggT(2014,18,999)=1. Das bedeutet, dass sein muss, damit diese 3 Konstanten entsehen konnten. Kann man da nun einfach so sagen, dass 1 der Erzeuger ist? Werden die X-Terme "einfach so" mit erzeugt?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der gleichen Begründung wäre (X²+1,X²+1)=(1) was klar falsch ist. Also auch dir Argumentation.
MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, dann habe ich leider keine Ahnung wie man das richtig begründet.

Aber immerhin hat bei einer der Aufgaben die ggT Ermittlung nun doch funktioniert. Kann ich wenigstens folgende Schlüsse ziehen? :

Finde den normierten Erzeuge von und wir befinden uns wieder im . Dann gilt:


ist Erzeuger
ist der normierte Erzeuger.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig.
MatheErsti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Immerhin etwas Big Laugh Ich danke dir für deine kompetente und schnelle Hilfe. Ich werde mich morgen nochmal an eine sinnvolle Begründung dransetzen!
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