Bijektive Abbildung Unter-/ Faktorgruppe

12.06.2014, 18:39	Dr. Watson	Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektive Abbildung Unter-/ Faktorgruppe Meine Frage: Hallo an alle Helfer, meine Aufgabe: Es sei N ein Normalteiler einer Gruppe G. Zeige: Die Abbildung $\begin{eqnarray} \left\{ U\leq G~\|~N\subseteq U\right\} \rightarrow \left\{ V\leq G/N\right\} :U\rightarrow U/N \end{eqnarray}$ ist bijektiv. Meine Ideen: Also ... ich bin mir nicht so recht sicher, wie ich an die Aufgabe herankomme. Für Bijektivität bietet sich ja Injektivität und Surjektivität an. Ich dachte mir, ich fange mit Surjektivität mal an. Dazu sei $\begin{eqnarray} V\leq G/N \end{eqnarray}$ , also ein Element aus dem Zielbereich. Jetzt muss ich doch zeigen, dass dieses V von einem U aus dem Definitionsbereich angenommen wird, oder? Dazu dachte ich mir, dass ich zeige, dass V die Form W/N haben muss und dass V dann von W aus dem Definitionsbereich angenommen wird ... Ihr seht schon, so recht will das irgendwie nicht klappen, zumindest hab ich das Gefühl. WÄre dankbar über Hilfe wie ich zum Ziel komme.
13.06.2014, 06:26	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es bietet sich an, die Inverse anzugeben. Die ist durch $\begin{eqnarray} V \mapsto \pi^{-1}(V) \end{eqnarray}$ gegeben, wobei $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ die kanonische Projektion ist. Man sollte nun noch nachrechnen, dass das tatsächlich die Inverse ist.

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