Vergleichsarbeiten EF: Polynomdivision?

12.06.2014, 22:23

verzweif

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Vergleichsarbeiten EF: Polynomdivision?

Meine Frage:
Es gibt da eine Aufgabe in der Probeklausur für die Vergleichsklausur der EF in NRW, die ich nicht ganz lösen kann. Ich muss nur wissen ob man dafür Polynomdivision braucht odernicht? Falls nicht, könntet ihr mir bitte helfen wie man auf die Lösung kommt?

Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 0,5× x3 - 4,5 × x2 + 12 × x - 9.

Die Funktion f lässt sich auch darstellen in der Form:
f (x) = (x - 3) × (0,5× x2 - 3× x + 3) .
Ermitteln Sie alle Nullstellen von f und geben Sie diese nicht als Näherungswerte, sondern
exakt an.

Meine Ideen:
Ich hab die Lösung schon aber ich weiß nicht wie man darauf kommt:

Nullstellen bei x1 = 3, x2 = 3-Wurzel von 3, x3 = 3+Wurzel von 3

12.06.2014, 22:28

Bonheur

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Zitat:

Original von verzweif
Ich muss nur wissen ob man dafür Polynomdivision braucht odernicht?

Eigentlich schon.

Da du aber schon diese Form

Zitat:

Original von verzweif

Die Funktion f lässt sich auch darstellen in der Form:
f (x) = (x - 3) × (0,5× x2 - 3× x + 3) .

besitzt, kannst du dir Polynomdivision sparen.

Um die Nullstellen zu berechnen, gilt ja:

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x-3) \cdot (0.5x^{2}-3x+3)=0 \end{eqnarray*}$

Du hast nun zwei Faktoren und was muss gelten, damit das Produkt null wird ?

12.06.2014, 22:34

verzweif2

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Pq
Also der erste Faktor ergibt ja die Nullstelle = 3. Aber man kann beim zweiten Faktor ja aber keine pq-Formel anwenden weil der Wert in der Wurzel negativ sein wird. Deswegen komme ich nicht weiter. Eigentlich brauchen wir in der Klausur keine Polynomdivision. Aber es wird in den Lösungen die beiden anderen Nullstellen auch angegeben. Wie berechnet man die?. Das versteh ich nicht

12.06.2014, 22:37

verzweif3

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Zitat:

Original von Bonheur

Du hast nun zwei Faktoren und was muss gelten, damit das Produkt null wird ?

Verstehst du mein Problem? Ich muss den zweiten Faktor lösen. Aber wie?

12.06.2014, 22:40

Bonheur

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Zitat:

Original von verzweif2
Aber man kann beim zweiten Faktor ja aber keine pq-Formel anwenden weil der Wert in der Wurzel negativ sein wird.

Der Wert unter der Wurzel ist nicht negativ. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von verzweif3
Verstehst du mein Problem? Ich muss den zweiten Faktor lösen. Aber wie?

PQ-Formel.

Edit:

Übrigens.

Wieso nennst du dich die ganze Zeit um ? Melde dich doch mit deinem Account an. Big Laugh

Big Laugh

12.06.2014, 23:02

verzweif4

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Doch

Zitat:

Original von Bonheur

Zitat:

Original von verzweif2
Aber man kann beim zweiten Faktor ja aber keine pq-Formel anwenden weil der Wert in der Wurzel negativ sein wird.

Der Wert unter der Wurzel ist nicht negativ. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von verzweif3
Verstehst du mein Problem? Ich muss den zweiten Faktor lösen. Aber wie?

PQ-Formel.

Edit:

Übrigens.

Wieso nennst du dich die ganze Zeit um ? Melde dich doch mit deinem Account an. Big Laugh

Big Laugh

1.Doch
$\begin{eqnarray*} <br /> x_2,3 = 3/2 \pm \sqrt{(-3/2)^{2} -3 } <br /> \end{eqnarray*}$

2. Weil ich keine Zeit hab mich anzumelden

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12.06.2014, 23:03

verzweif4

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Zitat:

Original von Bonheur

Zitat:

Original von verzweif2
Aber man kann beim zweiten Faktor ja aber keine pq-Formel anwenden weil der Wert in der Wurzel negativ sein wird.

Der Wert unter der Wurzel ist nicht negativ. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von verzweif3
Verstehst du mein Problem? Ich muss den zweiten Faktor lösen. Aber wie?

PQ-Formel.

Edit:

Übrigens.

Wieso nennst du dich die ganze Zeit um ? Melde dich doch mit deinem Account an. Big Laugh

Big Laugh

1.Doch
$\begin{eqnarray*} <br /> x_2,3 = 3/2 \pm \sqrt{(-3/2)^{2} -3 } <br /> \end{eqnarray*}$

2. Weil ich keine Zeit hab mich anzumelden

12.06.2014, 23:07

Bonheur

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Du musst natürlich zu Beginn:

$\begin{eqnarray*} 0.5x^{2}-3x+3=0 \end{eqnarray*}$

diese Gleichung auf die Normalform bringen.

12.06.2014, 23:08

verzweif5

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Du merkst doch dass ich das nicht verstehe. Ich muss noch paar andere Sachen üben. Kannst du mir das bitte direkt erklären? geschockt

geschockt

12.06.2014, 23:12

verzweif6

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Zitat:

Original von Bonheur
Du musst natürlich zu Beginn:

$\begin{eqnarray*} 0.5x^{2}-3x+3=0 \end{eqnarray*}$

diese Gleichung auf die Normalform bringen.

Ist doch schon Normalform also f(x)=x^2 +px+q
was muss man daran ändern?

12.06.2014, 23:14

Bonheur

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Ich werde dir keinen kompletten Lösungsweg posten.

Wir können uns aber an die Lösung herantasten. Dazu musst du aber auch bereit sein.

Zitat:

Original von verzweif5
Du merkst doch dass ich das nicht verstehe. Ich muss noch paar andere Sachen üben. Kannst du mir das bitte direkt erklären?

Was verstehst du denn nicht ?

Mathe erfordert Geduld !

Du musst diese Gleichung $\begin{eqnarray*} 0.5x^{2}-3x+3=0 \end{eqnarray*}$ auf diese
Normalform bringen:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+px+q=0 \end{eqnarray*}$

Dabei ist:

$\begin{eqnarray*} p=-3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} q=3 \end{eqnarray*}$

12.06.2014, 23:20

verzweif7

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Zitat:

Original von Bonheur

Du musst diese Gleichung $\begin{eqnarray*} 0.5x^{2}-3x+3=0 \end{eqnarray*}$ auf diese
Normalform bringen:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+px+q=0 \end{eqnarray*}$

Dabei ist:

$\begin{eqnarray*} p=-3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} q=3 \end{eqnarray*}$

also

0 = x^{2}-3x +3
also
p=-3
und
q=3

x_{2,}_{3} = 3/2 \pm \sqrt{(-3/2)^{2} -3 }

12.06.2014, 23:22

verzweif8

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Sorry $\begin{eqnarray*} <br /> 0 = x^{2}-3x +3<br /> also<br /> p=-3<br /> und<br /> q=3<br /> <br /> x_{2,}_{3} = 3/2 \pm \sqrt{(-3/2)^{2} -3 }<br /> \end{eqnarray*}$

12.06.2014, 23:25

verzweif9

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Ich komme mit dem Formeleditor nicht klar

$\begin{eqnarray*} <br /> also<br /> <br /> 0 = x^{2}-3x +3<br /> also<br /> p=-3<br /> und<br /> q=3<br /> <br /> x_{2,3} = 3/2 \pm \sqrt{(-3/2)^2 -3 }<br /> \end{eqnarray*}$

Ich bin doch weit gekommen. Bitte hilf mir etwas.

12.06.2014, 23:26

Bonheur

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Wo ist denn 0.5 geblieben ?

12.06.2014, 23:28

Iorek

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Zitat:

Original von Bonheur

Du musst diese Gleichung $\begin{eqnarray*} 0.5x^{2}-3x+3=0 \end{eqnarray*}$ auf diese
Normalform bringen:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+px+q=0 \end{eqnarray*}$

Dabei ist:

$\begin{eqnarray*} p=-3 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} q=3 \end{eqnarray*}$

Das ist sehr verwirrend aufgeschrieben. Für die Anwendung der pq-Formel ist eben nicht $\begin{eqnarray*} p=-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=3 \end{eqnarray*}$ . Die Werte für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ lassen sich erst bestimmen, wenn man die Normalform bereits gebildet hat.

Und $\begin{eqnarray*} 0=0{,}5x^2-3x+3 \end{eqnarray*}$ ist eben auch noch nicht die Normalform. Für die Normalform darf vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ kein weiterer Faktor mehr stehen.

12.06.2014, 23:30

Bonheur

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Danke für dein Einwand. Freude

Freude

Natürlich hast du Recht.

Da war ich ein wenig zu schnell.
Das würde dann auch erklären, warum er direkt die PQ-Formel anwendet.

12.06.2014, 23:33

verzweifeltohneende

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$\begin{eqnarray*} <br /> 0 =0,5 x^{2}-3x +3 \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} p=-3 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} q=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = 3/2 \pm \sqrt{(-3/2)^{2} -3 } \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} 0 = x^{2}-6x +6 \end{eqnarray*}$
also
p=-6
und
q=6

$\begin{eqnarray*} x_{2,3} = 6/2 \pm \sqrt{(-6/2)^{2} -6 }<br /> \end{eqnarray*}$

Edit: LaTeX korrigiert. Bitte nutze doch die Vorschaufunktion zur Überprüfung. Nur die Formeln gehören in die LaTeX-Tags, geschriebener Text nicht. LG Iorek

12.06.2014, 23:37

verzwei

Auf diesen Beitrag antworten »

Also
nochmal
$\begin{eqnarray*} <br /> x^2-6x+6=0<br /> <br /> pqFormel = x = 3 \pm \sqrt{-3^2 -6} <br /> \end{eqnarray*}$

12.06.2014, 23:44

verzweifeltester

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Also
dann bekomme ich aber
$\begin{eqnarray*} <br /> x = 3 \pm \sqrt{-15} <br /> \end{eqnarray*}$

raus. Aber da muss als Antwort
$\begin{eqnarray*} <br /> x = 3 \pm \sqrt{3} <br /> \end{eqnarray*}$

rauskommen. Was habe ich falsch gemacht. Danke noch mal für eure Hilfe und GEDULD. Freude

Freude

12.06.2014, 23:48

Bonheur

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Zitat:

Original von verzwei
Also
nochmal
$\begin{eqnarray*} <br /> x^2-6x+6=0<br /> <br /> pqFormel = x = 3 \pm \sqrt{\textcolor{green}{(-3)^2} -6} <br /> \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt.

Nur die Schreibweise ist ein wenig unverständlich.
Da du zwei Nullstellen hast, ersetzt du das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{1/2} \end{eqnarray*}$ .

Außerdem ist es wichtig eine Klammer zu setzen. ( grün markiert )

Zitat:

Original von verzweifeltester

Also
dann bekomme ich aber
$\begin{eqnarray*} <br /> x = 3 \pm \sqrt{-15} <br /> \end{eqnarray*}$

Das kann nicht sein.

$\begin{eqnarray*} (-3) \cdot (-3)=9 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (-3) \cdot (-3)=-9 \end{eqnarray*}$

12.06.2014, 23:53

verzweif4kdk

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Danke. Habs jetzt verstanden. Das mit -15 lag dann an der fehlenden Klammer. Danke Prost

Prost

12.06.2014, 23:55

Bonheur

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Gern geschehen. Wink

Wink

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