Allgemeine Lösung homogener linearer DGL erster Ordnung

13.06.2014, 11:15	Pi_soner	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Lösung homogener linearer DGL erster Ordnung Meine Frage: Hallo liebe Mathe-Freunde, ich arbeite gerade ein altes Ana II Skript durch, bei welchem mir jedoch die Beweise fehlen. Für eine homogene, lineare DGL erster Ordnung: $\begin{eqnarray} y'+g(x)y=0, x\in I \quad (H) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} I\subset\mathbb{R}, g\in C(I) \end{eqnarray}$ haben wir laut Skript die allgemeine Lösung: $\begin{eqnarray} y(x)=ce^{-\int_\xi^x g(t)dt}, \xi\in I, c\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ beliebig. Was ich nicht verstehe ist, warum $\begin{eqnarray} \xi, c \end{eqnarray}$ "beliebig" sein sollen?! Meine Ideen: Ich habe mir diese Lösung so hergeleitet: $\begin{eqnarray} <br /> (H) \Leftrightarrow \frac{y'(x)}{y(x)}=-g(x) <br /> \Leftrightarrow \int_\xi^x\frac{y'(x)}{y(x)}dx=\int_\xi^x-g(x)dx <br /> \Leftrightarrow^{Subst.}\int_{y(\xi)}^{y(x)}\frac{1}{s}ds=\int_\xi^x-g(t)dt<br /> \Leftrightarrow ln(y(x))-ln(y(\xi))= -\int_\xi^xg(t)dt <br /> \Leftrightarrow y(x)=y(\xi)e^{-\int_\xi^x g(t)dt}. \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} c=y(\xi) \end{eqnarray}$ und somit meine Konstante $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ doch nicht so ganz beliebig sondern abhängig vom gewählten $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ ? Mein Integrationswissen ist leider etwas eingerostet und ich bin mir nicht ganz sicher ob meine Umformungen korrekt sind, wäre super wenn mir hier jemand erklären könnte warum $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ sein soll! Was mich bei meiner Rechnung auch noch stört ist, dass für die Gültigkeit der ersten Äquivalenz $\begin{eqnarray} y(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ gelten muss..
13.06.2014, 23:40	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin eher der, der selbst Hilfe sucht, aber soweit ich das sehe, hast du den Zusammenhang der zwei Variablen genau richtig erkannt; Beliebig aber deswegen weil du erstmals keine konkrete Funktion hast; wenn du z.B. f(x)=2x hast und du hast x=1, dann ist y=2; Hier aber bekommst du verschiedene Lösungen für verschiedene Kombinationen, d.h. nur weil dein x=0 ist, heißt das nicht, dass dein Funktionswert 1 oder 5 oder 1 Million ist; Je nachdem was du für einen y-Wert forderst, wirst du dann eine andere Funktion y bekommen; Andersrum natürlich genauso, wenn du einen bel. aber festen Funktionswert hast und den x Wert variierst bekommst du auch andere Lösungen;
14.06.2014, 11:53	Pi_soner	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Ja, ich habe mittlerweile auch noch einmal mit einem Kommilitonen darüber geredet, der mir das genauso wie du erklärt hat. Und es ist ja auch logisch. Das einzige was mich noch nervt ist die Sache, dass ich y(x)=0 ausschließen muss oder passt das dann wieder, da ich auch c=0 wählen kann? Und in der zweiten Zeile meiner Äquivalenzkette müsste ich wohl direkt eine andere Integrationsvariable wählen, oder nicht?
15.06.2014, 15:55	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich ist $\begin{eqnarray} t_0~und~y_0 \end{eqnarray}$ beliebig und die allgemeine Lösung deines Problems $\begin{eqnarray} y'(t)=f(t)y(t)~mit~y(t_o)=y_0 \end{eqnarray}$ ist definiert durch $\begin{eqnarray} y(t)=y_0e^{\int_{t_0}^t \! f(t) \, dt } \end{eqnarray}$ Wobei du mit einem y Wert von 0 natürlich die konstante Funktion f(x)=0 herausbekommst, was offensichtlich stimmt, da f(t)*0=0 und die Ableitung von 0 ebenfalls 0 ist;
15.06.2014, 16:15	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Lösung homogener linearer DGL erster Ordnung Die Herleitung einer allgemeinen Formel erfolgt für gewöhnlich durch die Multiplikation eines Integrationsfaktors. Wenn wir die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}+p(x)y=g(x) \end{eqnarray}$ haben können wir diese ja mal mit dem Integrationsfaktor $\begin{eqnarray} e^{\int p(x)dx} \end{eqnarray}$ multiplizieren. Wir haben dann: $\begin{eqnarray} e^{\int p(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int p(x)dx}\cdot p(x)y=e^{\int p(x)dx}\cdot g(x) \end{eqnarray}$ Wenn wir nun die linke Seite der Gleichung scharf betrachten fällt auf das wir sie auch schreiben können als: $\begin{eqnarray} (ye^{\int p(x)dx})'=e^{\int p(x)dx}\cdot g(x) \end{eqnarray}$ (Bitte überprüfen, ist nichts weiteres als die Anwendung der Produktregel) Nun einmal integrieren und wir erhalten: $\begin{eqnarray} ye^{\int p(x)dx}=\int e^{\int p(x)dx}\cdot g(x)dx \end{eqnarray}$ jetzt nur noch nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auflösen und wir erhalten: $\begin{eqnarray} y=\frac{\int e^{\int p(x)dx}\cdot g(x)dx}{e^{\int p(x)dx}} \end{eqnarray}$ Das heißt, wenn $\begin{eqnarray} g(x)=0 \end{eqnarray}$ kannst du dir jetzt ja selber einmal ausmalen wie $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ aussehen muss.
18.06.2014, 14:43	Pi_soner	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Lösung homogener linearer DGL erster Ordnung Danke für Deine Erklärung! Müsste beim integrieren auf der linken Seite deiner Gleichung nicht noch eine Integrationskonstante dazu addiert werden? Sprich: $\begin{eqnarray} ye^{\int p(x)dx}+c=\int ye^{\int p(x)dx} \cdot g(x)dx \end{eqnarray}$ Was natürlich an der Lösung der homogenen (und auch inhomogenen) DGL nichts ändern würde (da hier nur zwei Konstanten addiert werden bzw. jede Lsg. der inhomogenen+Lsg. der homogenen wieder Lösung von der inhomogenen ist). Ich hatte mir die von Dir hergeleitete Lsg. für die inhomogene DGL mittels Variation der Konstanten hergeleitet, aber deine Herleitung ist schöner! Lässt sich auf gleichem Weg auch die Lösung für das Anfangswertproblem darstellen?
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18.06.2014, 17:14	Pi_soner	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Lösung homogener linearer DGL erster Ordnung Okay passt, einfach in deiner Äquivalenzkette an Stelle der unbestimmten Integrale, von $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ integrieren, dann gilt bei meinem letzten Beitrag $\begin{eqnarray} c=-y(\xi) \end{eqnarray}$ und alle sind glücklich

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