Urnenbeispiel Wahrscheinlichkeit

13.06.2014, 13:29	katatonia	Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenbeispiel Wahrscheinlichkeit Meine Frage: Hallo, ich hatte bei meiner letzten Prüfung zwei Wahrscheinlichkeitsbeispiele, die mir einige Schwierigkeiten bereitet haben. 1) In einer Urne befinden sich 10 weiße, 10 rote, 10 blaue und 10 grüne Kugeln. Es werden mit einem Griff 6 Kugeln gezogen. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln mindestens 4 die gleiche Farbe haben. 2) Ein Kartenpaket besteht aus 15 roten und 5 weißen Karten. Aus dem Paket wird 120 mal mit zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Karten die Anzahl der roten Karten mind 5 mal so groß ist wie die Anzahl der Weißen? Meine Ideen: 1) Es müssen 4, 5, oder 6 die gleiche Farbe haben. Das wäre 1- P(0 gleich und 1 gleich und 2 gleich und 3 gleich) da 6 Plätze und 4 Farben vorhanden sind ist P(0 gleich)=0 Die Kombinationsmöglichkeiten für genau 1 gleiche Farbe sind: r b w g r r r b w g b b r b w g g g r b w g w w natürlich mit den Permutationen der Kugeln auf die einzelnen Plätze. Weiter komme ich mit meinem Ansatz leider nicht. 2) Hier hätte ich Binomialverteilung gewählt. Es dürfen maximal 20 weiße Karten vorhanden sein. mit p=5/20 und q=15/20 hätte ich die Lösung für P (Anzahl weiße Karten kleiner gleich 20)= $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{i=0}^k \begin{pmatrix} 120 \\ i \end{pmatrix} p^{i} * q^{120-i} <br /> \end{eqnarray*}$ k=20 sorry hab die Summe mit dem latex editior nicht gleich so hinbekommen
13.06.2014, 17:41	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urnenbeispiel Wahrscheinlichkeit Zur 1) ist folgendes begrifflich zu berücksichtigen: Es ist grundsätzlich immer mindestens 1 Farbe "gleich", denn jede Farbe ist sich selbst gleich. Daher kann auch der Fall "0 gleich" nicht auftreten. Also wäre der Fall "höchstens 1 Farbe gleich" zu verstehen als "alle Farben unterschiedlich". So ähnlich wie bei Aufgaben vom Typ "mindestens 2 Personen haben am gleichen Tag Geburtstag". Das Gegenereignis dazu ist eben "alle haben an unterschiedlichen Tagen Geburtstag" und nicht umständlich "Genau 0 haben am gleichen Tag Geburtstag oder genau Einer hat am gleichen Tag Geburtstag". Denn Jeder hat an irgendeinem Tag Geburtstag und der ist der gleiche wie der eigene. Da hier aber nur 4 unterschiedliche Farben vorkommen, können die 6 gezogenen Kugeln nicht alle verschiedenfarbig sein. Zur Berechnung würde ich hier nicht das Gegenereignis betrachten, sondern direkt Fallunterscheidung machen: "mindestens 4 gleiche Farben" = "genau 4 gleiche Farben" oder "genau 5 gleiche Farben" oder "genau 6 gleiche Farben". Diese 3 Fälle können wiederum unterteilt werden: "genau 4 gleiche Farben" = "4 weiße und 2 nicht weiße" oder "4 rote und 2 nicht rote" oder "4 blaue und 2 nicht blaue" oder "4 grüne und 2 nicht grüne" Dementsprechend für "genau 5 gleiche Farben". "genau 6 gleiche Farben" wäre dann schließlich "6 weiße" oder "6 rote" oder "6 blaue" oder "6 grüne" Auf jede mit "oder" verknüpfte Alternative in den Zweigen kannst Du die Formel der Hypergeometrischen Verteilung anwenden und die Ergebnisse aufsummieren. Das sieht zunächst sehr aufwendig aus, es wird sich aber herausstellen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten in den einzelnen Zweigen bequem zusammenfassen lassen. Der Ansatz zur 2) ist in Ordnung, den Wert mußt Du jetzt noch bestimmen, entweder aus Tabellenwerk oder ggf. angenähert durch Normalverteilung.
13.06.2014, 18:27	katatonia	Auf diesen Beitrag antworten »
Also stimmt das dann so für Bsp 1: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> 4 \left( \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 30 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 30 \\ 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 10 \\ 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \end{pmatrix} \right) / \begin{pmatrix} 40\\ 6\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ 4 die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Farbe mind 4 mal vorkommt und für Bsp 2 zur Normalverteilung: $\begin{eqnarray} <br /> m = \frac{5}{20} 120 = np=30<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> s = \sqrt{npq} = \sqrt{120\frac{15}{20}\frac{5}{20} } =2,054 <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> P(0\leq Y\leq 20)= F(\frac{20-m}{s} )-F(\frac{0-m}{s} )=F(-4,868)-F(-14,605) <br /> \end{eqnarray}$ m ist der Erwartungswert my, s die Standardabweichund Sigma und F ist Phi der Normalverteilung (der Formeleditor wollte meine griechischen Buchstaben nicht) nun habe ich das Problem dass alle Tabellenwerte für Phi nur bis 3.5 gehen, also denke ich, dass irgendwo ein Fehler begraben ist
13.06.2014, 18:55	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel 1 sollte jetzt stimmen. Bei 2) komme ich aber auf s = 4,74. Außerdem genügt es dann, $\begin{eqnarray} P(Y\leq 20,5)=F_{N} \left(\frac{20,5-m}{s} \right) \end{eqnarray}$ zu berechnen. Mit den 0,5 habe ich mal die Stetigkeitskorrektur berücksichtigt.
13.06.2014, 19:24	katatonia	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, s=4,74 war ein Tippfehler im TR. Vielen Dankfür die schnelle Hilfe! Hab das Forum erst heute entdeckt, echt super wie einem hier geholfen wird! Vielleicht melde ich mich mal wieder bis zur Prüfung in einer Woche. mfg
13.06.2014, 19:25	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
bin jetzt auch mal zwischendurch ca. 1 Stunde weg
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