Reihe Konvergenz

13.06.2014, 15:42

Ehier

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Reihe Konvergenz

Servus, ich soll zeigen das die Reihen

1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ und

2) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} \end{eqnarray*}$ konvergieren aber nicht absolut konvergieren.

Das beide Reihen nicht absolut konvergieren sollte bei 1) mit dem Leibniz-Kriterium klappen und bei 2) mit dem Wurzelkriterium.

Mein Problem ist allerdings, wie zeige ich das die Reihen konvergieren? Das heißt ja, ich darf Wurzelkriterium, Leibniz-Kriterium, Quotientenkriterium nicht mehr nehmen. So wie ich das bei Wikipedia verstanden habe darf ich auch kein Majorantenkriterium/Minorantenkriterium nehmen da man damit auch absolute Konvergenz zeigt.

Mehr Kriterien hatten wir noch nicht in der Vorlesung. Die Frage ist nun, wie soll ich es zeigen, kann mir jemand mal unter die Arme greifen?

Gruß Ehier

13.06.2014, 15:46

Guppi12

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Hallo,

da kennst du offensichtlich eine andere Version des Leibniz-Kriteriums als ich.

Magst du das mal bitte aufschreiben?

Zeige bitte auch, wie du damit auf die Absolutdivergenz kommst.

Auch würde ich gerne sehen, wie du mit dem Wurzelkriterium auf absolute Divergenz bei der 2. schließt.

13.06.2014, 15:54

Ehier

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Das Leibnizkriterium ist doch:

$\begin{eqnarray*} 1. \lim_{n\to\infty}|a_n|\geq |a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. \lim_{n\to\infty} |a_n|=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe es damit noch nicht durchgespielt da ich erst eimal wissen möchte wie ich die Konvergenz der beiden Reihen zeigen soll. Hast du da einen Tipp?

13.06.2014, 15:59

Guppi12

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Du hast da nur zwei Gleichungen hingeschrieben. So machen diese noch keine Aussage. Was ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ? für welches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ soll das gelten? Was folgt, wenn das gilt? Das sind alles Dinge, die in einer vernünftigen Formulierung drin stehen.

Ich weiß aber auch nicht, wo du damit hin willst, das hat absolut garnichts mit dem Leibnizkriterium zu tun, das ich kenne.

Zitat:

wie ich die Konvergenz der beiden Reihen zeigen soll. Hast du da einen Tipp?

Ja, eben genau mit dem Leibnizkriterium. Deswegen musst du das einmal komplett rauskramen, also den originalen Wortlaut. Denn da hast du anscheinend etwas ziemlich falsch verstanden. Dieses Missverständnis müssen wir wohl erstmal aufräumen.

13.06.2014, 16:07

Ehier

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Das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ Dann gilt doch ist $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge dann ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ absolut konvergent.

Das meine ich dann mit:

$\begin{eqnarray*} 1. \lim_{n\to\infty}|a_n|\geq |a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. \lim_{n\to\infty} |a_n|=0 \end{eqnarray*}$

Oder was meinst du?

13.06.2014, 16:12

Guppi12

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Nein, das gilt nicht. Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1n \end{eqnarray*}$ .
Dies erfüllt deine Bedingungen, ist aber nicht absolut konvergent.

Auch wenn das Kriterium, so wie es oben steht stimmen würde, sehe ich nicht, wie du das mit den 2 Gleichungen da formulierst. In der Gleichung für die Monotonie hat beispielsweise ein Limes nichts verloren. Dort müsste dann stehen: Für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}| < |a_n| \end{eqnarray*}$ .
Dabei ist der Text vor der Gleichung extrem wichtig, den kannst du nicht weglassen. Ohne ihn hat die Gleichung Null aussagekraft. (Merke, dies ist rein hypothetisch, so wie das Kriterium oben steht, ist es falsch, das nur zur Umformung des Textes in Gleichungen)

Das Leibnizkriterium:

Ist $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge, dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n \end{eqnarray*}$ konvergent.

Merke: Keine Aussage über absolute Konvergenz, keine Aussage, ob die Reihe divergiert, wenn irgendeine Bedingung im Kriterium nicht erfüllt ist. Mit dem Leibnizkriterium kann man garkeine Divergenz von Reihen zeigen. Das muss auf anderem Wege passieren. Und in der Bedingung steht auch nichts vom Betrag. Du kannst aber sehr wohl damit Konvergenz zeigen.

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13.06.2014, 16:30

Ehier

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Oh ja, dass fällt mir gerade auch auf. Es müsste wenn schon:

1) $\begin{eqnarray*} \a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$ lauten darauß folgt dann das \sum_ a_n konvergiert.

Also ich habe noch einmal in meinen Unterlagen nachgeschaut und dort steht wörtlich:

Leibniz Kriterium:

i) $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist altenierende Folge
ii) $\begin{eqnarray*} a_n\to\0 \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend

Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$

Eine andere Forumulierung: Ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine monotone Nullfolge, so konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n \end{eqnarray*}$ .

Demnach sollen wohl diese beiden Aussagen äquivalent sein ...

Also läuft das wohl darauf hinaus dass ich das Leibniz Kriterium doch anwenden kann? smile

smile

13.06.2014, 16:32

Ehier

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Oh ja, dass fällt mir gerade auch auf. Es müsste wenn schon:

1) $\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray*}$ lauten darauß folgt dann das \sum_ a_n konvergiert.

Also ich habe noch einmal in meinen Unterlagen nachgeschaut und dort steht wörtlich:

Leibniz Kriterium:

i) $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist altenierende Folge
ii) $\begin{eqnarray*} a_n\to 0 \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend

Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$

Eine andere Forumulierung: Ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine monotone Nullfolge, so konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n \end{eqnarray*}$ .

Demnach sollen wohl diese beiden Aussagen äquivalent sein ...

Also läuft das wohl darauf hinaus dass ich das Leibniz Kriterium doch anwenden kann? smile

13.06.2014, 16:36

Guppi12

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Zitat:

Demnach sollen wohl diese beiden Aussagen äquivalent sein ...

Ja diese beiden sind tatsächlich äquivalent. Man sieht hier gut, dass es auf die Details ankommt. Halbwissen reicht meistens nicht. Du siehst ja selbst, dass die Formulierung von dir oben nicht richtig ist.

Zitat:

Also läuft das wohl darauf hinaus dass ich das Leibniz Kriterium doch anwenden kann? smile

Darauf läuft es hinaus, du musst also jetzt die Voraussetzungen für das Kriterium bei beiden Reihen überprüfen.

13.06.2014, 16:41

Ehier

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Allesklar, ich werde mich später noch einmal melden. Ich werde jetzt erst einmal die Aufgabe durchrechnen. Schonmal vielen Dank! smile

smile

13.06.2014, 17:05

Ehier

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Ganz so einfach scheint es wohl doch nicht zu werden.

Ich hänge bei der Monotonie.

$\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\geq\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\geq\sqrt{n+2} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich denn weiter umformen?

13.06.2014, 17:39

Guppi12

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Es geht einfacher, wenn du zuerst umformst:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \dots \end{eqnarray*}$

Was da dann rauskommt, kannst du leichter auf Monotonie untersuchen.

13.06.2014, 17:54

Ehier

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In der Tat! smile

smile

Ich bin jetzt bei: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Ich meine das $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2}>\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich. Muss ich das auch noch zeigen?

Sonst wäre damit die Monotonie abgehackt ...

13.06.2014, 18:20

Guppi12

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Zitat:

Ich meine das $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+2}>\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich. Muss ich das auch noch zeigen?

ich denke nicht.

13.06.2014, 19:11

Ehier

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Dann fehlt noch die Nullfolge.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn hier zeigen das es eine Nullfolge ist? Das n im Nenner ausklammern bringt mich ja auch nicht weiter da es sich auch nicht weg kürzt ...

13.06.2014, 22:56

Guppi12

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Hi,

du kannst die Folge nach oben durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ abschätzen. Entweder dir ist schon bekannt, dass das eine Nullfolge ist, oder du beweist noch schnell dazu, dass, wenn $\begin{eqnarray*} a_n \to 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_n}\to 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

13.06.2014, 23:02

Ehier

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So richtig habe ich das noch nicht verstanden mit dem abschätzen. Es gilt ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Also warum ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ auch eine Nullfolge? Kannst du mir das erklären?

13.06.2014, 23:24

Guppi12

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Kennst du das Sandwhichlemma / Einschnürungssatz?

13.06.2014, 23:34

Ehier

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Ja, dass besagt doch wenn $\begin{eqnarray*} c_n\leq b_n\leq a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergieren gegen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

Wenn mein $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ dann fehlt mir aber doch noch ein $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ ?

14.06.2014, 00:14

Guppi12

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Na dann überleg noch etwas, was man da nehmen könnte. Bedenke, wir wollen Konvergenz gegen 0 zeigen. Fällt dir eine Nullfolge ein, die kleiner als die betrachtete ist ?

14.06.2014, 10:58

Ehier

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Eventuell $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ darf man sich irgendeine aussuchen oder muss die Reihe noch in irgendeiner "Beziehung" zu $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ stehen?

Falls nicht dann wäre damit die Monotonie+Nullfolge gezeigt. Demnach ist dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ konvergent.

Das sie allerdings nicht absolut konvergent ist wie zeige ich das denn jetzt?

14.06.2014, 12:02

Guppi12

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1/n^2 geht natürlich auch, aber warum machst du es dir so kompliziert? Du kannst doch einfach die konstante Nullfolge nehmen..

Zur absoluten Divergenz: Was ist denn der Betrag der summierten Folge?

14.06.2014, 12:23

Ehier

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Das ist ja super, dann habe ich den ersten Teil schonmal abgehackt! Freude

Freude

Das wäre dann ja $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Dann muss ich untersuchen ob die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert?

Ich bin etwas verwirrt, habe ich das nicht schon bei der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n \end{eqnarray*}$ gezeigt?

verwirrt

14.06.2014, 14:00

Guppi12

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Zitat:

Ich bin etwas verwirrt, habe ich das nicht schon bei der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n \end{eqnarray*}$ gezeigt? verwirrt

Das musst du mir erklären, warum meinst du das?

14.06.2014, 14:25

Ehier

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Ja weil ich doch bei der Konvergenz auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ untersucht habe. Das finde ich irgendwie komisch. Soll ich die für die Divergenz nun eine geeignete Minorante finden?

Ich denke evtl sowas wie...

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\geq\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=b_n \end{eqnarray*}$ und dann...

$\begin{eqnarray*} \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und das ist Divergent ...

Und da $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\geq \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert, folgt darauß das $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert.

Kann ich das so machen? smile

smile

14.06.2014, 14:39

Guppi12

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Zitat:

Ja weil ich doch bei der Konvergenz auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ untersucht habe

Ich verstehe aber nicht, wie deine bisherigen Untersuchungen zu absoluter Divergenz führen. Diese gingen ja in eine ganz andere Richtung.

In deiner zweiten Zeile sehe ich nicht, warum da auf einmal die Wurzel verschwindet und das dann gleich sein soll. Du kannst allerdings einfach deine Abschätzung in der ersten Zeile einfach noch weiterführen und dort in der Abschätzung die Wurzel weglassen. Du bekommst aber nicht eine Gleichheit sondern natürlich nur eine Ungleichung. Der Rest geht mit dieser Modifikation dann aber so durch. (Auch wenn man das besser aufschreiben könnte, aber dazu sage ich nichts mehr, da dich Hinweise in diese Richtung ja nicht so interessieren.)

14.06.2014, 15:04

Ehier

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Ich habe auch die Wurzel vergessen es soll natürlich $\begin{eqnarray*} \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ lauten.

Also ist es quatsch was ich hier gemacht habe?

Wie soll ich denn sonst zeigen das die Reihe nicht absolut konvergiert?

14.06.2014, 15:14

Guppi12

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Zitat:

Also ist es quatsch was ich hier gemacht habe?

Nein, wenn bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert passt das doch, falls nicht kannst du noch die kleinen Anpassungen vornehmen, die ich oben erwähnte.

14.06.2014, 16:18

Ehier

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Wir haben in der Vorlesung schon gezeigt das $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha\leq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert. Ich denke dann kann ich das auch verwenden. smile

smile

Damit wäre also gezeigt das die Reihe konvergiert aber nicht absolut konvergiert. Ich werde mich gleich mal an b) setzen und meine Ergebnisse oder falls Probleme auftauchen mich melden.

Schonmal ein rießen Dankeschön! Freude

Freude

15.06.2014, 11:04

Ehier

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So, next round ...

Ich habe mich nun an die 2) gemacht $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Ich starte mit der Monotonie.

$\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}\geq\frac{(n+2)^{n+1}}{n^{n+2}} \end{eqnarray*}$

habe ich nun so weit umgeformt bis ich bei $\begin{eqnarray*} n(n+1)^n\geq (n+2)^n\cdot (n+2) \end{eqnarray*}$ gelandet bin. Nun fehlt mir allerdings die Idee wie ich ab hier weiter machen soll. Hast du einen Tipp`?

15.06.2014, 13:26

Guppi12

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Schau dir das hier nochmal genau an:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}\geq\frac{(n+2)^{n+1}}{n^{n+2}} \end{eqnarray*}$

.

Da steht nicht das gleiche.

Abgesehen davon würde ich hier eher zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

15.06.2014, 13:37

Ehier

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Was ist denn daran falsch? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{(n+2)^{n+1}}{n^{n+2}} \end{eqnarray*}$ also für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Für die Monotonie muss dann gezeigt werden $\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}\geq\frac{(n+2)^{n+1}}{n^{n+2}} \end{eqnarray*}$

15.06.2014, 13:43

Guppi12

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Der Nenner von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist falsch.

15.06.2014, 13:54

Ehier

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Ups, na klar ...

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{(n+1)^n}{(n+1)^{n+2}} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich jetzt folgendes dort stehen (nach ein paar Umformungen):

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{2n}(n+1)^2}{n^n\cdot n\cdot (n+2)^n\cdot (n+2)}\geq 1 \end{eqnarray*}$

Das der Ausdruck größer Null ist sollte klar sein. Die Frage ist nun wie zeige ich das es größer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist? Sinnvolle Umformungen fallen mir da nicht zu ein ...

15.06.2014, 14:27

Guppi12

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$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{2n}(n+1)^2}{n^n\cdot n\cdot (n+2)^n\cdot (n+2)} = \left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Es genügt also, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} n(n+2) \leq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ . Fällt dir dazu was ein?

15.06.2014, 14:42

Ehier

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Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} n(n+2)\leq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2+2n\leq n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq 1 \end{eqnarray*}$ und das für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sehr cool! smile

smile

Damit ist die Monotonie abgehackt. Nun geht es an die Nullfolge.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2(1+\frac{1}{n})^n}{n^n\cdot n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n}=0 \end{eqnarray*}$

Der Zähler geht ja gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und der Nenner gegen Null. Also ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge. Damit ist die Reihe konvergent.

Nun muss ich noch zeigen das die Reihe nicht absolut konvergiert. Soll ich das am besten auch wieder durch eine passende Abschätzung machen? smile

smile

15.06.2014, 14:49

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2(1+\frac{1}{n})^n}{n^n\cdot n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n}=0 \end{eqnarray*}$

Der Schritt in der Mitte ist falsch, soll das Quadrat da ein hoch n sein?

Zitat:

Der Zähler geht ja gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und der Nenner gegen Null.

Der Nenner geht nicht gegen Null. Du meinst das richtige, das kannst du dann in deinem Aufschrieb noch richtig machen.

Zitat:

Soll ich das am besten auch wieder durch eine passende Abschätzung machen?

Ja. Der Anfang, den du hier gemacht hast:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n} \end{eqnarray*}$ eignet sich dafür sehr gut.

15.06.2014, 15:03

Ehier

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Immer diese doofen leichtsinnsfehler... unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n(1+\frac{1}{n})^n}{n^n\cdot n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n}=0 \end{eqnarray*}$

Der Nenner geht gegen unendlich und damit der Asdruck gegegn Null. So müsste es stimmen.

Nun zu der Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n}\geq \frac{(\frac{1}{n})^n}{n}=\frac{1}{n\cdot n^n}=b_n \end{eqnarray*}$

Meine andere Idee zu der Abschätzung ist: $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n}\geq\frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n^n}=(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})^n=b_n \end{eqnarray*}$

Beides scheint mir aber nicht so wirklich geschickt zu sein ....

15.06.2014, 15:09

Guppi12

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Zitat:

Beides scheint mir aber nicht so wirklich geschickt zu sein ....

Ne ...

Augenzwinkern

Probier halt weiter, ich bin mir sicher, du findest was passendes.

15.06.2014, 15:33

Ehier

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Vielleicht mit der Brechstange? $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n}\geq \frac{(1+\frac{1}{n})^n}{n(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{n}=b_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty \end{eqnarray*}$ da harmonische Reihe.

Damit ist dann auch $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ divergent. Ich hoffe das geht so durch ... Big Laugh

Big Laugh

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