Übergangsmatrix, Verteilung optimieren

13.06.2014, 17:34	Mikeyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Übergangsmatrix, Verteilung optimieren Hallo, ich habe eine Aufgabe zu lösen wo ich an einer Teilaufgabe hänge. Also in der Aufgabe geht es um Carsharing und um Orte wo die jeweiligen Autos geparkt werden. Dafür gibt es 4 Stationen. Es gab dann im Text eine Angabe wie viel Prozent der jeweiligen Autos wann wo sind. Damit sollte man eine Übergangsmatrix bestimmen und mal auf eine Verteilung von (40,40,40,40) anwenden. Das hat alles funktioniert. Meine Matrix lautet: $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix}<br /> 0.1 & 0.2 & 0 & 0.1 \\<br /> 0.2 & 0.3 & 0.5 & 0.1 \\<br /> 0.3 & 0.2 & 0.2 & 0.1 \\<br /> 0.4 & 0.3 & 0.3 & 0.7 \\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man hatte dann eine Verteilung von Autos gegeben, bei der man auf die Ursprungsverteilung schließen sollte. Das habe ich mit dem Gausalgorithmus gelöst. Die nächste Aufgabe lautete: Der Betreiber garantiert, dass am nächsten Morgen die Verteilung gleich der Verteilung des vorherigen Tages ist. Deshalb gibt es einen Angestellten der Nachts die Autos wieder richtig verteilt. Pro Transport kostet das 4€ pro Auto. Man finde nun eine Verteilung sodass möglichst keine Autos mehr von dem Angestellten hin und her gefahren werden müssen. Dazu lautet doch das zu lösende GLS: $\begin{eqnarray} M \vec{x} = \vec{x} \end{eqnarray}$ oder? Das ist ja erst einmal nicht eindeutig lösbar. Ich erhalte aber: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\left( \begin{array}{c}x_1\\2.0555x_1\\1.5 x_1\\4.888x_1 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ Und weil insgesamt 160 Autos im Einsatz sind wäre eine mögliche Verteilung (gerundet) $\begin{eqnarray} \vec{x}=\left( \begin{array}{c}17\\35\\25\\83\end{array} \right) \end{eqnarray}$ Soweit so gut. Man sollte jetzt bestimmen wie viel Geld dadurch gespart wird und auch wie viel Geld eingenommen wird wenn im Schnitt jedes gefahrene Auto 5,5€ am Tag bringt. Da erhalte ich jetzt, dass 880€ eingenommen werden, wenn alle Autos ein mal fahren und man 88€ spart durch die neue Verteilung im vergleich zur (40, 40, 40, 40)-Verteilung. Aber dann steht in der Aufgabe, dass ein gewisser Prozentsatz pro Station einfach gar nicht fährt. Wenn ich das Berücksichtige (in der Prozessmatrix macht es ja keinen Unterschied ob ein Auto von 3 zu 3 fährt oder gar nicht) dann erhalte ich am Ende Einen Gewinn von 479€ mit der neuen Verteilung im Vergleich zu 528€ mit der gleichmäßigen Verteilung. Jetzt endlich die eigentliche Frage: Im nächsten Schritt soll eine Verteilung gefunden werden für die der Gewinn abzüglich Kosten Maximal wird. Ich bin mir leider so gar nicht sicher, wie ich das erreichen kann. Also es ist deutlich, dass der Gewinn bei dieser Verteilung die die nächtlichen Angleichugnskosten minimiert nicht maximal ist - er ist ja sogar schlechter als bei der gleichmäßigen Verteilung. Also man könnte natürlich jede mögliche Verteilung durchprobieren aber das ist sicherlich kein eleganter und ganz bestimmt nicht der gefragte Lösungsweg. Hat da jemand einen Tipp wie ich das anstellen könnte? Denn leider hilft ja bei der Kostenüberlegung die Matrix nur bedingt - denn in ihr ist nicht ersichtlich wie viel Autos die bei z.B. Station 3 morgens stehen auch tatsächlich gefahren wurden (s.o.). Danke schon mal
14.06.2014, 17:23	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Übergangsmatrix, Verteilung optimieren Die Matrix (bzw. Vektor), mit der du den Gewinn für eine gegebene Verteilung ausrechnen kannst, erhältst du, indem du die Diagonale auf null setzt ("von 3 zu 3"-Fahrten) und alle anderen Einträge mit 5,5 multiplizierst. Anschließend müssen die einzelnen Gewinne pro Station natürlich noch addiert werden. Das geschieht durch Multiplikation mit (1\|1\|1\|1) . Für die Rückfahrten arbeitest du mit der Inversen $\begin{eqnarray} M^{-1} \end{eqnarray}$

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