ein paar reihen

13.06.2014, 20:00

akamanston

ein paar reihen

hi

wie zeige ich ob $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^k}{k!} \end{eqnarray*}$ konvergiert oder divergiert?

wenn ich quotientenkriterium anwende dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} (\frac{k+1}{k})^k \end{eqnarray*}$ . jetzt kann ich sagen, dass der bruch immer >1 ist und somit divergiert, oder?

dann noch die zwei ähnlichen reihen.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty(\frac{k}{k+1})^k \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{k}{n+1})^{k^2} \end{eqnarray*}$

reicht es wenn ich hier einfach sage, dass bei divergieren, weil die folge jeweils keine nullfolge ist?

und zuletzt noch was zu dieser folge.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{\begin{pmatrix} 3k \\ k \end{pmatrix} } =\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k!(2k)!}{(3k)!} \end{eqnarray*}$
die umformung sollte stimmen.
nun wollte ich wieder quotientenkriterium anwenden, aber dann wird es halt ein richtiges gewusel... ist das unumgänglich oder gibt es noch eine schönere variante?

für ihr bemühen danke ich im voraus Big Laugh

13.06.2014, 20:41

GLn

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(Vorweg: Uni-Mathe einige Jahre her)

Zur 1. Reihe: Man kann auch schon anhand der Abschätzung k! <= k^k sagen, dass hier keine Nullfolge vorliegt.

Zur 2. Reihe: Ich würde schon sagen, dass das eine Nullfolge ist, beachte das hoch k. Die konvergiert aber sehr langsam, kann man hier nicht eine Abschätzung gegenüber der harmonischen Reihe vornehmen?

3.: Was ist n in dem Fall, ein beliebiger (natürlicher?) Parameter?

An die 4. wage ich mich gerade nicht heran.

13.06.2014, 21:03

Mulder

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Zitat:

Original von GLn
Zur 2. Reihe: Ich würde schon sagen, dass das eine Nullfolge ist, beachte das hoch k.

Nee. Beachte den bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac xn \right)^n \quad , \quad x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Darauf lässt sich auch dieses Beispiel zurückführen.

Bei der 3) würde ich mal fast einen Tippfehler vermuten und das n soll eigentlich ein k sein? Das wäre dann in der Tat eine Nullfolge, weil das k im Exponenten dann zum Quadrat auftaucht.

Was die 4) betrifft: So'n Gewusel wird das nun auch nicht. Nicht hadern, einfach mal machen. Die Fakultäten dann ein bisschen auseinanderfummeln, da kürzt sich doch fast alles weg.

14.06.2014, 15:31

akamanston

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Zitat:

Original von Mulder
Bei der 3) würde ich mal fast einen Tippfehler vermuten und das n soll eigentlich ein k sein? Das wäre dann in der Tat eine Nullfolge, weil das k im Exponenten dann zum Quadrat auftaucht.

ja ganz klar, tippfehler. muss natürlich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{k}{k+1})^{k^2} \end{eqnarray*}$ sein.

nochwas bei der folgenden folge habe ich zwar mit quotientenkriterium bewiesen, dass sie divergiert, aber ich möchte andere (schnellere) methoden probieren.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2k^2+k} \end{eqnarray*}$
nun habe ich mal mit majorante versucht.
$\begin{eqnarray*} a_{k} =\frac{k^2}{2k^2+k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{k} =\frac{k^2}{2k^2+k}\leq \frac{k^2}{k}\leq k \end{eqnarray*}$
das ist doch aber falsch oder? die abschätzung hat mir nichts gebracht, weil k ja größer ist als die folge. ich müsste das ungleichheitszeichen irgendwie andersrum setzen oder? ich komm mit den abschätzungen einfach nciht klar...

dann ein anderer weg.
$\begin{eqnarray*} a_{k} =\frac{k^2}{2k^2+k} \end{eqnarray*}$
wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{k^2}{2k^2+k} =0,5 \end{eqnarray*}$ und das ist keine nullfolge und müsste somit konvergieren.

14.06.2014, 15:41

Mulder

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Zitat:

Original von akamanston
das ist doch aber falsch oder? die abschätzung hat mir nichts gebracht, weil k ja größer ist als die folge.

Ja, logisch. Majoranten sucht man, um Konvergenz nachzuweisen. Und Minoranten sucht man, um Divergenz nachzuweisen. Andersrum ergibt doch keinen Sinn. Bei

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2k^2+k} \end{eqnarray*}$

braucht es also eine divergente Minorante, wenn man denn Abschätzungen vornehmen will. Braucht man eigentlich ja nicht, man sieht ja auch so schon, dass das Trivialkriterium, dass die Folge eine Nullfolge sein muss, offenbar nicht erfüllt ist. Aber eine ganz einfache Minorante wäre z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac{k^2}{2k^2+k} \geq \frac{k^2}{2k^2+k^2} = \frac 1 3 \end{eqnarray*}$

Also offenbar divergent, da keine Nullfolge.

14.06.2014, 15:44

akamanston

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Zitat:

Original von Mulder
Braucht man eigentlich ja nicht, man sieht ja auch so schon, dass das Trivialkriterium, dass die Folge eine Nullfolge sein muss, offenbar nicht erfüllt ist.

damit ist das hier gemeint oder, $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{k^2}{2k^2+k} =0,5 \end{eqnarray*}$

stimt die letzte ungefähr^^

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{\begin{pmatrix} 3k \\ k \end{pmatrix} } =\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{k!(2k)!}{(3k)!}\Rightarrow |\frac{(3k)!(k+1)!(2k+2)!}{k!(2k)!(3k+3)!} |=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+2)}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}=\frac{4}{27} \end{eqnarray*}$

die binomialkoeffizienten habe ich so umgeformt: (3k)!(3k+1)(3k+2)(3k+3)=(3k+3)!

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