Stochastischer Prozess messbar

13.06.2014, 23:35

hanswa

Stochastischer Prozess messbar

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich stehe hier vor einer Aufgabe, die mich ein bisschen verwirrt: Ich habe einen reellen stochastischen Prozess [latex]X=(X_t)_{t\geq 0}[\latex] der rechtsstetige Pfade hat und auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [latex](\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})[\latex] definiert ist. Nun soll ich zeigen, dass X produkt messbar ist, also dass die Abbildung [latex](\omega,s)\rightarrow X_s(\omega), \mathcal{F}\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}_+)[\latex] messbar ist.
Ich frage mich nun, warum nicht? :-/

Meine Ideen:
Ich weiß, dass für jedes feste t [latex]X_t[\latex] eine Zufallsvariable ist, und somit messbar bzgl. der Borel sigma Algebra. Die Frage ist nur, wie ich jetzt die rechtsstetigkeit ausnutzen soll, um die Messbarkeit bzgl t zu zeigen. Ich denke die Aussage, dass Urbilder offener Mengen offen sind gilt nur für stetige Funktionen, nicht aber für rechtssteitge Funktionen oder? Falls ich die Messbarkeit in Bezug auf t gezeigt habe, bin ich dann schon fertig? Ich kann mir leider nicht so wirklich Elemente aus der ProduktsigmaAlgebra vorstellen. Streng genommen müsste ich ja zeigen, dass das Urbild einer beliebigen offenen Menge (z.B.) in dieser Produkt-sigma-Algebra liegt.

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar :-)

13.06.2014, 23:54

Dopap

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RE: Stochastischer Prozess messbar

Zitat:

Original von hanswa
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich stehe hier vor einer Aufgabe, die mich ein bisschen verwirrt: Ich habe einen reellen stochastischen Prozess $\begin{eqnarray*} X=(X_t)_{t\geq 0} \end{eqnarray*}$ der rechtsstetige Pfade hat und auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) \end{eqnarray*}$ definiert ist. Nun soll ich zeigen, dass X produkt messbar ist, also dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} (\omega,s)\rightarrow X_s(\omega), \mathcal{F}\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R}_+) \end{eqnarray*}$ messbar ist.
Ich frage mich nun, warum nicht? :-/

Meine Ideen:
Ich weiß, dass für jedes feste t $\begin{eqnarray*} X_t \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable ist, und somit messbar bzgl. der Borel sigma Algebra. Die Frage ist nur, wie ich jetzt die rechtsstetigkeit ausnutzen soll, um die Messbarkeit bzgl t zu zeigen. Ich denke die Aussage, dass Urbilder offener Mengen offen sind gilt nur für stetige Funktionen, nicht aber für rechtssteitge Funktionen oder? Falls ich die Messbarkeit in Bezug auf t gezeigt habe, bin ich dann schon fertig? Ich kann mir leider nicht so wirklich Elemente aus der ProduktsigmaAlgebra vorstellen. Streng genommen müsste ich ja zeigen, dass das Urbild einer beliebigen offenen Menge (z.B.) in dieser Produkt-sigma-Algebra liegt.

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar :-)

Unterhalb des Eingabefensters gibt es die VORSCHAU-Funktion. Vor dem Abschicken diese erst immer verwenden ! smile

14.06.2014, 00:08

hanswa

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Hallo,

ich habe das probiert und gesehen, dass das nicht klappt. Leider sehe ich nicht genau, warum? Wenn ich deinen Post zitiere sehe ich keinen Unterschied zum meinigen.

LG hanswa

14.06.2014, 01:03

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \frac 34 \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\frac 34[/latex]

d.h. der Latex-End-Tag ist [/latex] und nicht [\latex]

14.06.2014, 01:15

hanswa

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. Vielen Dank!

Dann hoffe ich, dass wir uns nun der Aufgabe zuwenden können :-)

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