Stetigkeit, Umkehrfunktion

14.06.2014, 10:03

MarioH

Stetigkeit, Umkehrfunktion

Meine Frage:
Sei f: $\begin{eqnarray*} D->\mathbb R \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} D:=\left\{ x \in \mathbb R | |x| > 2 \right\}\cup \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray*}$

f(x) = \begin{pmatrix} x+2 für x < -2 \\ 0 für x= 0 \\ x-2 für x > 2 \end{pmatrix}

a) Skizzieren Sie den Graph von f und zeigen Sie, dass f stetig ist.
b) Zeigen Sie, dass f bijektiv ist und somit die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^-1: \mathbb R -> D \end{eqnarray*}$ existiert.
c) Skizzieren Sie den Graph von f^-1 und zeigen Sie, dass f^-1 nicht stetig ist.

Meine Ideen:
a)
Skizze habe ich hier nicht, ist ja auch einfach.
Stetigkeit: Wie sage ich das am besten?
Für x < -2:
x+2 -> stetig
Für x=0:
0
Für x > 2:
x-2 -> stetig

f ist in D stetig. (Wie soll ich das "zeigen"? Ist recht offensichtlich...)

b)
Um zu zeigen, dass dies beides gilt, sollte es reichen zu zeigen, dass f stetig ist (aus a) ) und streng monoton steigend (bzw. fallend), daraus folgt das dann.
Streng monoton steigend:
Fall 1: x,y < -2
x<y -> f(x) < f(y) = x+2 < y+2 = x < y
Fall 2: x,y > 2
x<y -> f(x) < f(y) = x-2 < y-2 = x < y
Fall 3: x < -2, y = 0
x<y -> f(x) < f(y) = x+2 < 0 (da x<-2 korrekt)
Fall 4: x=0, y > 2
x<y -> f(x) < f(y) = 0 < y-2 (da y>2 korrekt)

Ich weiß nicht ob das alle Fälle abdeckt, kommt mir aber auch zu ausführlich vor.
Kann ich daraus bereits bijektiv und die Umkehrfunktion schließen?

c)
f^-1(x) = \begin{pmatrix} x-2 für x < -2 \\ 0 für x= 0 \\ x+2 für x > 2 \end{pmatrix}
Stimmt die so? Dann ist der Graph wieder einfach.

lim f^-1(x) = -4 != 0 = f^-1(0)
n -> -2

Ist das bereits Beweis genug? Wenn f^-1 gegen -2 geht, also hin zur 0 was ja das nächste x ist, geht sie gegen -4 und nicht gegen 0, was der nächste Funktionswert ist. Es entsteht also ein Sprung und sie ist nicht stetig.

Offenbar hab ich ja alles irgendwie gelöst, nur mathematisch sieht hier nix aus unglücklich

14.06.2014, 11:25

bijektion

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Wie ist die Funktion jetzt definiert? $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x+2 & x<-2 \\ 0 & x=0 \\ x-2 & x>2 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

14.06.2014, 16:07

MarioH

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Oh, ja - habs mal mit LaTex versucht aber hab davon wenig Ahnung Big Laugh

15.06.2014, 12:55

bijektion

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Ok.

a) Stetigkeit. Das sollte kein Problem sein. Wo können Problem auftreten?
b) Eigentlich sollte das so reichen.
c) Das kann ich nicht lesen.

15.06.2014, 13:03

MarioH

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a)
Naja die Probleme sind eben im Übergang zwischen den Fällen. Wäre nun für x=0 f(x)=20, wäre f(x) auch nicht stetig.

c) Habs hingekriegt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\begin{cases} x-2 & x < -2 \\ 0 & x=0 \\ x+2 & x > 2 \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

15.06.2014, 13:28

bijektion

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a) Schau dir den Definitionsbereich an Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} g(x)=x\pm 2 \end{eqnarray*}$ ist sicherlich auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig.

15.06.2014, 13:52

MarioH

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Meinst du mit g(x) jetzt die beiden Sonderfälle von f(x)?

Ja, die ist stetig. Das habe ich ja auch mit meiner Fallunterscheidung gemeint.
Tut mir leid, ich weiß nicht was ich mit dem Tipp anfangen soll. verwirrt

15.06.2014, 14:04

bijektion

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Die Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist stetig, denn für $\begin{eqnarray*} \delta=1 \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} |x-0|<\delta \end{eqnarray*}$ sicherlich $\begin{eqnarray*} |f(x)-0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stetig ist, ist dann doch auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig.

15.06.2014, 14:13

Leopold

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Zitat:

Original von bijektion
Die Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist stetig

Sinn! Stetigkeit ist keine Eigenschaft von reellen Zahlen, sondern von Funktionen.

Vielleicht solltet ihr euch erst einmal einigen, was mit $\begin{eqnarray*} f,g,f^{-1},g^{-1} \end{eqnarray*}$ usw. jeweils gemeint ist. Sonst redet ihr auch übermorgen noch aneinander vorbei.

15.06.2014, 14:53

MarioH

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Okay, dann fasse ich mal die a) zusammen:

f(x) ist in 0 stetig.
Sei $\begin{eqnarray*} \delta=1 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} |x-0| <\delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x)-0| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .
(Hier ist 0 sowieso das einzig mögliche x... -> soll ich das gleich einsetzen?)

g(x) = x+2
h(x) = x-2

Ich überlege grad mit welcher Definition ich das am besten zeige, aber irgendwie wirkt es doch komisch so eine einfache Funktion als stetig zu beweisen verwirrt

Aber ich glaub ich bin mir da bei der Anwendung der Definitionen auch noch nicht so ganz sicher, denn meine Definitionen sprechen immer von einem Punkt p oder a. Ich wills ja auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beweisen.

18.06.2014, 11:42

MarioH

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Kann vielleicht jemand Klarheit schaffen? smile

20.06.2014, 09:39

MarioH

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Also,

ich hab jetzt das:

Sei $\begin{eqnarray*} g(x) = x+2 , h(x) = 0 , i(x) = x-2 \end{eqnarray*}$ .
g, h und i sind stetig als Polynome.

Nun kann ich ja sagen, dass für die Stetigkeit folgendes gelten muss:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\uparrow -2} g(x) = \lim\limits_{x\downarrow 2} i(x) = h(0) \end{eqnarray*}$
(da h(x) in f(x) ja nur für 0 definiert ist).
Kann ich das so beweisen oder muss ich dazu Folgen irrationaler Zahlen verwenden, die gegen -2 bzw 2 konvergieren, also:
Sei $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig. Sei $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge irrationaler Zahlen, die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, z.B. $\begin{eqnarray*} a_{n} = x_0 + 1/n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} g(a_n) = \lim\limits_{x\to\infty} i(a_n) = h(0) \end{eqnarray*}$
(für h könnte man ja auch noch $\begin{eqnarray*} b_n = 1/n \end{eqnarray*}$ definieren).

Sind beide Methoden okay? Ist das denn vollständig?

Auflösung ist jedenfalls dann, dass für alle limes das Ergebnis 0 ist und dadurch die Gleichungen stimmen, wodurch f(x) stetig ist. passt der ansatz?

20.06.2014, 10:03

MarioH

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...und zur b):

Da aus a) folgt, dass f(x) stetig ist und da $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} = \infty und \lim\limits_{x\to -\infty} = -\infty \end{eqnarray*}$ , ist f(x) surjektiv.
Da gilt:
$\begin{eqnarray*} x, y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x,y < -2: f(x) = f(y) \Rightarrow x+2 = y+2 \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x,y > 2: f(x) = f(y) \Rightarrow x-2 = y-2 \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
(für x,y=0 trivial)
ist f(x) injektiv.
Aus injektiv und surjektiv folgt bijektiv und somit existiert $\begin{eqnarray*} f^{-1}: \mathbb R -> D \end{eqnarray*}$

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