Basis von V/U bestimmen

14.06.2014, 14:34

Lalala1234

Basis von V/U bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} V= \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} U\subset V \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - Untervektorraum, der von den Vektoren
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
erzeugt wird. Man bestimme eine Basis von V/U.

Meine Ideen:
Ich habe jetzt die Basis von U zu einer basis vom $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^4 \end{eqnarray*}$ erweitert:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und ich weiss, dass V/U aus allen Nebenklassen von $\begin{eqnarray*} v+U, v\in V \end{eqnarray*}$ besteht.
Also muss ich ja die Basisvektoren von U aus der Basis von V "rausteilen"?
Meine Frage jetzt, kann ich die Basisvektoren von U einfach aus der Basis von V rausnehmen und erhalte so dann die Basis von V/U, also:

$\begin{eqnarray*} V/U= \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle \end{eqnarray*}$

14.06.2014, 15:47

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RE: Basis von V/U bestimmen
$\begin{eqnarray*} V/U= \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle \end{eqnarray*}$
kann nicht richtig sein, denn die Vektoren auf der rechten Seite liegen in V aber nicht in V/U.
Nimmst du stattdessen die zugehörigen Nebenklassen, sieht es schon viel besser aus

14.06.2014, 15:58

Lalala1234

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RE: Basis von V/U bestimmen
Danke, für die Antwort, aber welche Vektoren meinst du denn mit "Vektoren auf der rechten Seite"?

14.06.2014, 15:59

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RE: Basis von V/U bestimmen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.06.2014, 16:59

Lalala1234

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RE: Basis von V/U bestimmen
Das hier sind doch Nebenklassen von v+U (wenn ich das richtig verstanden habe):

$\begin{eqnarray*} 0+U = \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{1} +U = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + a * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{2} +U = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + a * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich denn jetzt dann von den Nebenklassen auf eine Basis von V/U kommen?

Ich habe in meinem Skript ein Lemma gefunden, dass sagt:
(1) Je zwei Nebenklassen modulo U sind entweder disjunkt oder sie stimmen überein.

(2) Seien $\begin{eqnarray*} v_{1}, v_{2} \in V \end{eqnarray*}$ .
Es gilt $\begin{eqnarray*} v_{1} + U = v_{2} + U \end{eqnarray*}$ gdw. $\begin{eqnarray*} v_{1}-v_{2} \in U \end{eqnarray*}$

Daraus kann man ja dann schliessen, wenn $\begin{eqnarray*} v_{1}-v_{2} \notin U \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} v_{1} + U \cap v_{2}+U = 0 \end{eqnarray*}$ , da sie ja dann nicht überein stimmen und somit laut (1) disjunkt sein müssen.

Jetzt sind aber meine 3 Nebenklassen da oben alle disjunkt und ich habe keine Ahnung wie ich dann auf eine Basis kommen soll von der Menge aller Nebenklassen...

14.06.2014, 17:10

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RE: Basis von V/U bestimmen

Zitat:

Original von Lalala1234
Aber wie soll ich denn jetzt dann von den Nebenklassen auf eine Basis von V/U kommen?

Ich verstehe die Frage nicht. Die gesuchten Basiselemente von V/U gehören doch zu V/U und müssen also per se Nebenklassen sein.
Du musst nur begründen, dass die Nebenklassen von v_1 und v_2 zusammen eine Basis bilden.

14.06.2014, 17:48

Lalala1234

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RE: Basis von V/U bestimmen
Ahh, jetzt hab ich's endlich mal verstanden, dass die Basis von V/ U ja gar nicht aus Vektoren aus V bestehen, sondern aus so v+U Dingern.

Vielen, vielen Dank!! Das hat mir sehr viel weiter geholfen! smile

16.06.2014, 18:26

Sonnenbrille

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Hallo

Wir haben im Moment die gleiche Aufgabe.
Bis zu diesem Punkt hab ich ja alles verstanden, jedoch wird mir nicht klar wie ich nun beweise, dass dies die Nebenklassen eine Basis von V/U bilden.

lg

16.06.2014, 21:32

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Zwei Möglichkeiten:
a) direkt: $\begin{eqnarray*} v_1+U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2+U \end{eqnarray*}$ bilden ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Das muss man nachrechnen
b) Ist $\begin{eqnarray*} \varphi: Z\to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen Z und W und ergänzt man eine Basis von $\begin{eqnarray*} Kern(\varphi) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} b_1,\ldots,b_n \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von Z, dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi(b_1),\ldots ,\varphi(b_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} Bild(\varphi) \end{eqnarray*}$ . Das muss man jetzt nur auf die lineare Abbildung anwenden, die bei Quotientenräumen immer auftaucht.

16.06.2014, 21:56

Sonnenbrille

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Danke für die schnelle Antwort!

Ok ja, die "erste Möglichkeit" hatten wir ausprobiert wir haben gezeigt, dass v+U = a* v1*U + b*v2+U für ein beliebiges v, jedoch würde die zweite Möglichkeit das viele herumrechnen ja vermeiden

Jedoch weiß ich nicht ganz was du damit meinst und wie ich vorgehen soll verwirrt

16.06.2014, 22:05

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Die zweite Möglichkeit spart ad hoc nur Arbeit, wenn man die Aussage kennt. Allerdings sollte man sie auch kennen, ein Beweis zur Übung schadet also keinesfalls.
Hat man die Aussage, wendet man sie auf $\begin{eqnarray*} \varphi: V\to V/U, x\mapsto x+U \end{eqnarray*}$ an - und bestätigt damit die Idee von Lalala1234

16.06.2014, 22:35

Sonnenbrille

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Das ist die kanonische Abbildung, wir haben dazu einen Satz in der Vorlesung aufgeschrieben
Der Kern dieser Abb ist U
Und ich bekomme, wenn ich die Abb auf V anwende V/U, richtig?

Ich übersetze mir also mal das was du geschrieben hast:
psi: V -> V/U ich habe meine Basis von U zu einer von V ergänzt
nun ist was eine Basis wovon?

16.06.2014, 23:04

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Steht doch alles da böse

Zitat:

Original von URL
ergänzt man eine Basis von $\begin{eqnarray*} Kern(\varphi) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} b_1,\ldots,b_n \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von Z, dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi(b_1),\ldots ,\varphi(b_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} Bild(\varphi) \end{eqnarray*}$ .

du musst nur die Bezeichnungen übersetzen. Das sollte im Hochschulbereich jetzt nicht wirklich das Problem sein

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