Funktion nach t auflösen (Nullstellen)

14.06.2014, 17:52

MatheDennis17

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Funktion nach t auflösen (Nullstellen)

Meine Frage:
Hallo,

ich muss eine Funktion quasi zur Nullstellenberechnung nach t auflösen:

$\begin{eqnarray*} f(t)=200*(t-15)*e^(-0.01*t)+3000 \end{eqnarray*}$

eigentliche Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(t)=4500 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
--> $\begin{eqnarray*} 0=200*(t-15)*e^(-0.01*t)-1500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=(t-15)*e^(-0.01*t)-7.5 \end{eqnarray*}$

und ab hier drehe ich mich im Kreis. Hab's mit Logarithmen versucht, verschachtel mich dabei aber.
$\begin{eqnarray*} ln(7.5)=ln[(t-15)*e^(-0.01*t)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(7.5)=ln[(t-15)]+ln[e^(-0.01*t)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(7.5)=ln[(t-15)]+(-0.01*t) \end{eqnarray*}$

aus $\begin{eqnarray*} ln(t-15) \end{eqnarray*}$ könnte ich noch die Differenz "auslogarithmieren", bringt mir aber nichts:
$\begin{eqnarray*} ln[(t-15)=ln(t)+ln(1-15/t)] \end{eqnarray*}$

Ich komme einfache nicht weiter. Ich weiß, dass es zwei t-Stellen gibt.

Danke im Voraus!

PS: Tut mir leid, dass die e-Funktion so komisch angezeigt wird.

14.06.2014, 18:03

adiutor62

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RE: Funktion nach t auflösen (Nullstellen)
Diese Gleichung kannst du nur mit einem Näherungsverfahren lösen. Algebraisch ist es nicht möglich.

14.06.2014, 18:04

Gast11022013

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Diese Gleichung (nicht Funktion) kannst du nicht algebraisch nach t auflösen, also das du irgendwann durch Umformungen erreichst, dass du das t isoliert hast und da irgendwas der Form

t=...

steht.

Hier kommst du nur mit einem Näherungsverfahren wie dem von Newton weiter.
Nützlicherweise kann man die Lösung hier auch direkt ablesen, wenn man ein wenig hinsieht. Aber rechnerisch müsste man zum Newtonverfahren greifen.

Edit: Bin weg.

14.06.2014, 21:30

Helferlein

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Nützlicherweise kann man die Lösung hier auch direkt ablesen, wenn man ein wenig hinsieht.

In Anbetracht der krummen Ergebnisse halte ich das für eine gewagte Aussage. Hast Du Dich evt. bei der Funktion vertan?

@MatheDennis17
Poste doch mal die Originalaufgabe, dann kann man schauen, ob Du möglicherweise einen Denk- oder Rechenfehler gemacht hast.

14.06.2014, 21:37

thk

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Zitat:

Original von Helferlein

In Anbetracht der krummen Ergebnisse halte ich das für eine gewagte Aussage.

Ich glaube, gmf meint
$\begin{eqnarray*} 0=200*(t-15)*e^{-0.01\cdot t}+3000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(t-15)*e^{-0.01\cdot t}+15 \end{eqnarray*}$

14.06.2014, 23:11

Gast11022013

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Das es für t=0 aufgeht finde ich relativ offensichtlich. Oder ist im Grunde ja auch fast die einzige Wahl, wenn man nach Lösungen durchs hinsehen sucht.

Habe die Funktion aber gerade geplottet und gesehen, dass es doch zwei Nullstellen gibt. Um Newton kommt man dann wohl ohnehin nicht drum herum.

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15.06.2014, 11:10

MatheDennis17

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Hallo,

für t=0 geht's ja nicht auf, da der e-Teil 1 ist, sodass mann
-15-7,5=-22,5 erhält.

Habe ein Bild der originalen Aufgabe hochgeladen.

Ich komme für k=200 eben auf $\begin{eqnarray*} f(t)=200*(t-15)*e^(-0.01*t)+3000 \end{eqnarray*}$

15.06.2014, 11:13

MatheDennis17

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tut mir leid, hab vergessen zu sagen, dass es um 14 a geht Wink

Wink

15.06.2014, 11:20

Gast11022013

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Oh, ich hatte oben irgendwie die 4500 komplett ignoriert. Das geht dann tatsächlich nicht schön auf...

Das du diese Gleichung mit dem Newtonverfahren lösen könntest wurde ja bereits erwähnt.
Kennst du dies?

15.06.2014, 11:27

MatheDennis17

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ja, das kenne ich. Hab's auch probiert und komme für eine t-Stelle auf circa 24,6 also auf Tag 25.
Für die zweite Stelle hatte ich noch keine Geduld^^

Noch ein Frage: Wie erkennt ihr "auf Anhieb", dass Gleichungen/Funktion nicht algebraisch zu lösen sind? smile

smile

15.06.2014, 11:33

Gast11022013

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Das diese Gleichung nicht algebraisch lösbar ist erkennt man daran, dass sie so eine Form hat

$\begin{eqnarray*} x\cdot a^x=y \end{eqnarray*}$

Ich (also Geogebra) erhalte eine Lösung von $\begin{eqnarray*} t\approx 21,07 \end{eqnarray*}$
führe die Iteration also noch ein paar mal aus, oder du hast irgendwas in deinen Ableitungen falsch.

Es gibt nur die eine Lösung. Ich hatte weiter oben eine falsche Gleichung betrachtet.

15.06.2014, 11:41

MatheDennis17

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hm, also ich komme bei
$\begin{eqnarray*} f(24,6)=4501,29 \end{eqnarray*}$
und für
$\begin{eqnarray*} f(21,07)=3983,36 \end{eqnarray*}$

Es muss ja zwei t-Stellen geben, alleine schon, weil von nem Zeitraum gesprochen wird.
Danke für den Hinweis Wink

Wink

$\begin{eqnarray*} f(t)=200*(t-15)*e^(-0.01*t)+3000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(t)=4500 \end{eqnarray*}$

15.06.2014, 11:49

Gast11022013

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Von 21,07 bis "unendlich" wäre ja auch ein Zeitraum. Nur kein besonders sinnvoller, wenn man ein Anwendungsbeispiel hat.

Ich erhalte

f(21.07)=4498.73

f(24.6)=5455.49

15.06.2014, 11:52

MatheDennis17

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du hast die flasche Funktion
$\begin{eqnarray*} e^(-0.01t \end{eqnarray*}$

15.06.2014, 11:58

Gast11022013

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Urgh...

Dann stimmt dein Ergebnis natürlich. Und jetzt gibt es auch die zweite Schnittstelle.

15.06.2014, 12:02

Leopold

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[attach]34610[/attach]

15.06.2014, 12:04

Gast11022013

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Ist das ein Symbol für einen GTR?

15.06.2014, 12:57

Leopold

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Ich vermute, daß das gemeint ist.

15.06.2014, 13:05

Bjoern1982

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Du vermutest richtig.
Das ist eine Aufgabe aus einem Lambacher Schweizer Mathebuch, welches Schüler in NRW häufig in der Oberstufe benutzen.

15.06.2014, 13:13

MatheDennis17

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habe, auf Tage gerundet, 25 und 392 raus.

Vielen Dank für die Hilfe von allen!

Gutes Forum Freude

Freude

15.06.2014, 13:16

MatheDennis17

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Du vermutest richtig.
Das ist eine Aufgabe aus einem Lambacher Schweizer Mathebuch, welches Schüler in NRW häufig in der Oberstufe benutzen.

Ja genau, allerdings arbeite ich nicht mit diesem Buch und auch nur mit normalem Taschenrechner.
War lediglich eine Übungsaufgabe, die wir mal bekommen haben.

15.06.2014, 13:18

Gast11022013

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Deine Ergebnisse sind korrekt.

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