Untersuchen auf Konvergenz

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14.06.2014, 22:13	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchen auf Konvergenz Meine Frage: Guten Abend, nach langem Rechnen muss ich leider eingestehen keine Ahnung zu haben folgendes Beispiel zu lösen. :-) Vl ist es auch schon etwas zu spät. Gegeben sei eine Reihe die auf Konvergenz geprüft werden soll. (-1)^nn^(1/n) Meine Ideen:* Laut meiner Überlegung würd ich n^(1/n) auf die n. Wurzel von n umformen und (-1)^n in die Wurzel nehmen. --> n.Wurzel aus ((-1)*n) Liege ich überhaupt richtig mit meiner Überlegung oder sollte ich mit L´Hospital das ganze angehen?
14.06.2014, 22:14	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo steht da eine Reihe?
14.06.2014, 22:21	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}n^{1/n} \end{eqnarray*}$ So dass sollte jetzt als Reihe durchgehen ;-)
14.06.2014, 22:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon besser. Allerdings verstehe ich deine Umformung oben nicht (was möglicherweise auch daran liegt, dass sie falsch ist ): $\begin{eqnarray} (-1)^n\cdot n^\frac{1}{n}\stackrel{?}{=}\sqrt[n]{(-1)\cdot n} \end{eqnarray}$ . Kennst du ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe?
14.06.2014, 22:29	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, kenn ich, aber es scheitert daran nicht zu wissen wie ich überhaupt anfangen soll.
14.06.2014, 22:30	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib dieses Kriterium mal auf. Edit: Hui, das war gerade mein 3000. Beitrag.
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14.06.2014, 22:43	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Also... Eine Möglichkeit wäre $\begin{eqnarray} a_{n+1} < a_{n} \end{eqnarray}$ Damit überprüfen ob sie monoton fallend ist oder nicht. Oder mit dem Wurzelkriterium lim $\begin{eqnarray} \sqrt{\|a_{n}\| } \end{eqnarray}$ wobei ich mit dem Gedanken gespielt habe $\begin{eqnarray} n^{1/n} \end{eqnarray}$ auf die n.Wurzel von n umzuformen ( was mein Gedankenfehler auch ist) Möglich wäre auch das Quotientenkriterium mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \|a_{n+1}/a_{n} \| \end{eqnarray}$ Alles schön und gut, aber zu etwaigen Ergebnissen bin ich nicht gekommen
14.06.2014, 22:48	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelkriterium und Quotientenkriterium sind nur hinreichende Kriterien für die Konvergenz einer Reihe. Ich hatte nach einem notwendigen Kriterium gefragt. Fällt dir da noch was ein? Was meinst du mit $\begin{eqnarray} a_{n+1}<a_n \end{eqnarray}$ ? Was willst du mit der Monotonie zeigen? Und was ist eigentlich $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ? Übrigens ist $\begin{eqnarray} n^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{n} \end{eqnarray}$ kein Denkfehler. Diese Umformung ist richtig.
14.06.2014, 22:55	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm da steh ich auf der Leitung.. mit $\begin{eqnarray} a_{n+1} <a_{n} \end{eqnarray}$ mein ich, dass ich die nächstgrößere Reihe nehme und sie mit der Ausgangsreihe vergleiche um so zu überprüfen ob diese Überlegung eine wahre Aussage ergibt oder eine Fasche. Damit weiß ich schon mal ob sie monoton steigend oder monoton fallend ist. Weiter weiß ich leider nicht mehr. :-)
14.06.2014, 22:58	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll die "nächstgrößere Reihe" sein? Das notwendige Kriterium, das ich meinte, ist: Falls $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray}$ konvergiert, dann ist $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Nullfolge. Oder anders formuliert: Wenn $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ keine Nullfolge ist, dann kann $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray}$ nicht konvergieren. Kommst du damit weiter?
14.06.2014, 23:04	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit mein ich folgendes : $\begin{eqnarray} (-1)^{n+1}(n+1)^{1/n+1} \end{eqnarray*}$ Ja, ok das notwendige Kriterium ist mir klar, das Problem ist aber zu überprüfen ob es sich um eine Nullfolge handelt. Wie soll ich am besten dieses Beispiel angehen?
14.06.2014, 23:08	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} \end{eqnarray}$ sollte bekannt sein. Kennst du den?
15.06.2014, 10:40	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja sagt mir was. Ich hab mal darüber geschlafen und bin heute morgen zu dieser Lösung gekommen. $\begin{eqnarray} (-1)^ne^{ln(n^{1/n}) } \end{eqnarray}$ Damit kann ich jetzt die Hochzahl 1/n vor den Ln schreiben.. $\begin{eqnarray} (-1)^ne^{1/nln(n) } \end{eqnarray}$ Jetzt n gegen Unendlich laufen lassen, damit wird 1/n --> 0 und ich erhalte: $\begin{eqnarray} (-1)^ne^{0} \end{eqnarray}$ Dabei bedeutet (-1)^n dass es immer abwechselnd positive und negative Werte rauskommen, sogenannte Häufungswerte. Damit wäre diese Reihe divergent, weils sie nicht gegen einen fixen Grenzwert konvergiert. Stimmt diese Überlegung?
15.06.2014, 10:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast im Exponenten sowas wie $\begin{eqnarray} 0\cdot \infty \end{eqnarray}$ stehen. Dabei kann alles mögliche rauskommen und muss nicht gegen Null gehen. Beispiel: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} n\cdot \frac{1}{n}=1 \end{eqnarray}$
15.06.2014, 11:05	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, d.h. ich nehme die Regel von L´Hospital... $\begin{eqnarray} 1/nln^(n) --> 0\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ln(n)}{n} --> \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray}$ durch ableiten wird ln(n) zu 1/n und n zu 1 damit bekomm ich (-1)^n*e^(1/n) raus und komm schließlich zu dem vorher genannten Ergebnis.
15.06.2014, 11:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray}$ ist, habt ihr sicherlich in der Vorlesung bereits relativ am Anfang gezeigt. Du vernachlässigst hier ein wenig die Grenzwertsätze, weil der Teil (-1)^n nicht konvergiert, kannst du den Grenzwertprozess nicht "teilweise" durchführen. Hier hättest du wohl eine einfache Fallunterscheidung für n gerade und n ungerade durchführen müssen. Aber wie gesagt den Beweis hast du sicherlich im Skript stehen.
15.06.2014, 11:22	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein hab ich leider nicht. Dieses Beispiel ist aus einer Prüfung, von der ich das Ergebnis nicht weiß. Dadurch weiß ich auch nicht ob ich überhaupt richtig gerechnet habe. (was ich offensichtlich nicht habe ) Wie wäre denn der korrekte Rechenweg für das Beispiel? Ein anderer Ansatz von mir wäre $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{(-1)n} \end{eqnarray*}$ nur komm ich da auch nicht weiter...
15.06.2014, 11:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du Mathematik studierst, dann habt ihr den oben angesprochenen Grenzwert bestimmt gehabt. Dein Ansatz ist nicht korrekt, da du unter der Wurzel etwas negatives stehen hast. Das wäre ziemlich "löchrig". Verfolge den Ansatz von 10001000Nick weiter. Eine Reihe kann nur dann konvergieren wenn du über eine Nullfolge summierst.
15.06.2014, 11:46	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich hab mal das skript durchgesehen und hab nichts über $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray}$ gefunden. Ich studier nämlich nicht Mathematik.
15.06.2014, 11:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Was studierst du dann, wenn ich fragen darf. Nichtsdestotrotz solltest du weiter überlegen, ob hier das Kriterium erfüllt ist, dass du eine Nullfolge hast.
17.06.2014, 13:11	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry das ich mich erst jetzt melde, war verhindert.... Ich studiere Maschinenbau :-) Also ich hab jetzt versucht mich intensiver mit dem Ansatz von 10001000Nick zu beschäftigen und kam zu folgendem Ergebnis: Zuerst hab ich die Reihe nach Leibnitz untersucht: $\begin{eqnarray} a_{n+1}<a_{n} \end{eqnarray}$ mit folgendem Ergebnis: $\begin{eqnarray} (-1)\sqrt[n+1]{(n+1)^{n}} <n \end{eqnarray}$ was eine wahre Aussage ist und somit monoton fallend ist. Anschließend noch mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf Konvergenz überprüfen: $\begin{eqnarray} \frac{a_{n+1}}{a_{n} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{(-1)^{n+1}\sqrt[n+1]{(n+1)} }{(-1)^{n}\sqrt[n]{n} } \end{eqnarray*}$ Da bekam ich -1 raus, das bedeutet die Reihe ist konvergent. Stimmt das Beispiel so, oder liege ich immer noch falsch lg
17.06.2014, 19:46	Florian01	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir keiner helfen?

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