Orthogonalprojektion (2)

15.06.2014, 08:32	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalprojektion (2) Ich benötige nochmal Hilfe mit der Orthogonalprojektionsmatrix in folgender Aufgabe: 1) Gesucht ist eine Orthonormalbasis B für den Unterraum U, der von den Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \end{eqnarray}$ aufgespannt wird, wobei $\begin{eqnarray} v_1 = (i, 0, 1), v_2 = (0, i, 1) \end{eqnarray}$ Ich habe folgendes Ergebnis berechnet: $\begin{eqnarray} B = \{ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -i \\ 2i \\ 1 \end{pmatrix} \} = \{ w_1, w_2 \} \end{eqnarray}$ 2) Ergänze diese Basis zu einer Orthonormalbasis C von $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^3 \end{eqnarray}$ : Ich habe folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray} C = \{ w_1, w_2, w_3 \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} w_3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3) Geben Sie bezüglich der Orthonormalbasis C die Koordinatenmatrix A für die Orthogonalprojektion auf U an. Stimmt das?: $\begin{eqnarray} \pi (w_1) = w_1, \pi (w_2) = w_2, \pi (w_3) = 0 \end{eqnarray}$ und demnach $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0& 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
15.06.2014, 09:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt mir sehr richtig vor.
15.06.2014, 10:02	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sehr schön! Bei dieser Matrix A erhalte ich ja bei Multiplikation mit einem Vektor diejenigen Koordinaten bezüglich der Basis, die der Projektion des Vektors auf U entsprechen, korrekt? Sei also zum Beispiel $\begin{eqnarray} A \cdot x = (1,3,0) \end{eqnarray}$ dann weiß ich, dass die Projektion $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ des Vektors x auf den Unterraum U so lautet: $\begin{eqnarray} \pi_U(x) = 1\cdot w_1 + 3\cdot w_2 = ... \end{eqnarray}$ Dann wäre auch die Projektion des Vektors (0,0,1) auf den Unterraum U gleich (0,0,0)? Muss ich dann einen Vektor immer erst als Linearkombination der Basisvektoren darstellen und ihn anschließend mit A (von rechts) multiplizieren? Denn $\begin{eqnarray} A \cdot (i, 0, 1) = (i, 0, 0) \end{eqnarray}$ und damit wäre die Projektion von $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ auf U gleich $\begin{eqnarray} i \cdot v_1 = (-1, 0, i) \end{eqnarray}$ ?
15.06.2014, 11:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung funktioniert so, dass der Vektor in der w-Basis dargestellt und von links mit A multipliziert wird: $\begin{eqnarray} \pi(x)=\pi(x_1w_1+x_2w_2+x_3w_3)=Ax=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix}=x_1w_1+x_2w_2 \end{eqnarray}$ Insbesondere ist $\begin{eqnarray} \pi(v_1)=v_1 \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} \pi(w_1)=w_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_1=\sqrt 2 w_1 \end{eqnarray}$ Anmerkung: Für alle $\begin{eqnarray} x\in U \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2=x_1w_1+x_2w_2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \pi(x)=\pi(x_1w_1+x_2w_2)=x_1 \pi(w_1)+x_2\pi(w_2)=x_1w_1+x_2w_2=x \end{eqnarray}$ (das ist auch anschaulich klar, weil die Einschränkung von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ auf U den Unterraum U punktweise auf sich selbst projiziert). Und noch mehr: Das gilt nicht nur für orthogonale Projektionen sondern für jede Projektion von V auf U längs W.

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