Folge Konvergenz

Neue Frage »

15.06.2014, 11:17	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge Konvergenz Hallo, Sei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ eine beschränkte, reelle Folge. 1) Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray} A_k=sup\{a_n:n\geq k\} \end{eqnarray}$ konvergiert. 2) Ist $\begin{eqnarray} A=\lim sup a_n \end{eqnarray}$ , also der größte partielle Grenzwert, so gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} a_n\leq A+\epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq N_0 \end{eqnarray}$ gilt. 3) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty} A_k=\lim_{n\to\infty} sup a_n \end{eqnarray}$ gilt. 4) Ist $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ eine weitere beschränkte Folge und gilt $\begin{eqnarray} a_n, b_n\geq 0 \end{eqnarray}$ , so gilt auch $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} sup(a_nb_n)\leq\lim_{n\to\infty} sup a_n\cdot\lim_{n\to\infty} sup b_n \end{eqnarray}$ 1) Ich denke da man weiß das $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ eine beschränkte Folge ist, muss man noch zeigen das sie monoton ist da aus Monotonie und Beschränktheit die Konvergenz folgt. Ehrlich gesagt kann ich nicht so viel mit der Aufgabe anfangen. Kann mir hier jemand helfen wie ich an die Aufgabe heran gehen soll? Selbst beim Verständnis von der Definition der Folge $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ hackt es ...
15.06.2014, 12:00	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Schreib doch mal einige Folgeglieder von $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ , dann müsstest du schnell sehen können, dass die Folge monoton ist.
15.06.2014, 12:05	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hapert es schon, wie soll man denn die Folge interpretieren? ist die Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ in der Folge $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ enthalten oder wie? Wenn ich zum Beispiel für $\begin{eqnarray} k=5 \end{eqnarray}$ einsetze wäre das ja: $\begin{eqnarray} A_5=\sup\{a_n:n\geq 5\} \end{eqnarray}$ was soll dann $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ sein? Irgendwie verstehe ich das nicht...
15.06.2014, 12:48	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst gar nicht zu wissen, was $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist, um zu sehen, dass die $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ monoton sind. $\begin{eqnarray} A_1=sup\{a_n:n\geq 1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_2=sup\{a_n:n\geq 2\} \end{eqnarray}$ Siehst du was?
15.06.2014, 13:29	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, also $\begin{eqnarray} A_1=sup\{a_n:n\geq 1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_2=sup\{a_n:n\geq 2\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_3=\sup\{a_n:n\geq 3\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_4=\sup\{a_n:n\geq 4\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_5=\sup\{a_n:n\geq 5\} \end{eqnarray}$ Man sieht das es eben monoton steigt. also $\begin{eqnarray} a_n=n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\geq k \end{eqnarray}$ also man sieht förmlich das $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ monoton steigend ist. Das ist mir jetzt irgendwie zu offensichtlich um es begründen zu können. Als Beweis reicht das aber nicht aus oder? wenn ich einfach sage $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist beschränkt laut Voraussetzung und $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist monoton steigend. demnach ist $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ auch konvergent. Das $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ allerdings beschränkt ist wird hier nicht raus deutlich oder? da doch $\begin{eqnarray} a_n=n\geq k \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ durchläuft ja die natürlichen Zahlen ...
15.06.2014, 15:10	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Du irrst dich. Die Folge ist monoton fallend. Außerdem ist zwar a_n beschränkt, aber du musst dir noch klar machen, wieso dann A_n beschränkt ist. Und wieso soll a_n die reellen Zahlen durchlaufen ??
Anzeige

15.06.2014, 15:25	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wieso monoton fallend? Die Zahlen werden doch immer größer ... ich meine die natürlichen Zahlen, nicht die reellen ...
15.06.2014, 16:08	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, das erste Folgeglied ist das Supremum der Folge a_n, das zweite Folgeglied ist das Supremum der Folge a_n, ohne Berücksichtigung des ersten Folgeglieds und das dritte Folgeglied ist das Supremum von a_n, ohne Berücksichtigung der ersten beiden Folgeglieder, usw. Mach dir mal klar, wieso das dann monoton fallend ist. Das sollte nun offensichtlich geworden sein.
15.06.2014, 16:36	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du nicht das Supremum der Folge $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ ? Um das ganze jetzt mal zu verstehen, Die Folge $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ ist das Supremum der Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ stimmt das so? Das Supremum ist ja die kleinste oberste Schranke. Wenn es eine obere Schranke gibt, kann die Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ja auch nicht bis ins unendliche wachsen und demnach muss sie eben monoton fallen?
15.06.2014, 22:51	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm dir mal ein Beispiel her. Betrachten wir mal die folge $\begin{eqnarray} a_n = -\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Wie sehen dann die ersten 4 Folgeglieder von $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ aus?
15.06.2014, 23:27	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A_k=sup\{-\frac{1}{n}:n\geq k\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_1=sup\{-\frac{1}{n}:n\geq 1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_2=sup\{-\frac{1}{n}:n\geq 2\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_3=sup\{-\frac{1}{n}:n\geq 3\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_4=sup\{-\frac{1}{n}:n\geq 4\} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ eine Nullfolge und das Supremum von $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ ist Null?
15.06.2014, 23:46	Mathesüchtiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte einfach, dass du dir an einfachen Beispielen klar machst, wie die Folge $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ aussieht. Beispiel 1: $\begin{eqnarray} a_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} A_k = sup\{\frac{1}{n}:n\geq k\} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} A_1=sup\{\frac{1}{n}:n\geq 1\}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_2=sup\{\frac{1}{n}:n\geq 2\}=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_3=sup\{\frac{1}{n}:n\geq 2\}=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und so weiter. Beispiel 2: $\begin{eqnarray} a(n)=\left\{\begin{array}{ll} n, & n\in [0,10] \cap \mathbb N \\<br /> \frac{1}{n}, & sonst.\end{array}\right. \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} A_1 = 10, A_2=10,...., A_10 = 10 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{11} =\frac{1}{11}, A_{12} =\frac{1}{12}<br /> \end{eqnarray}$ und so weiter. Ich hoffe du hast jetzt ein Gefühl dafür bekommen, wie die Folge $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ aussieht. Jetzt musst du begründen, wieso A_k beschränkt und monoton ist.
16.06.2014, 13:27	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man, das krieg ich doch hier niemals hin ... Eventuell da klar ist das $\begin{eqnarray} n\geq k \end{eqnarray}$ gilt wächst/fällt $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mindestens genau so schnell wie $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ Da nach Voraussetzung die Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ beschränkt ist muss auch $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ beschränkt sein da $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ die schneller wachsende/fallende Folge ist was $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ quasi mit einschließt?
16.06.2014, 21:23	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir noch jemand helfen?
16.06.2014, 21:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft eine Analogie, zunächst die auftretende Menge zu verstehen (um das Supremum kann man sich später kümmern): Stell dir vor, du hast eine Funktion $\begin{eqnarray} f:[0;\infty)\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray} \{f(x):x\geq 10\} \end{eqnarray}$ ? Es ist die Menge der Werte, die deine Funktion annnimmt, wenn das Argument $\begin{eqnarray} x\geq 10 \end{eqnarray}$ ist. Du betrachtest also die Einschränkung deiner Funktion auf das Intervall $\begin{eqnarray} [10;\infty) \end{eqnarray}$ , vergisst also gewissermaßen alle Werte, die zu Argumenten <10 gehören. Eine Skizze mag da auch helfen, die Vorstellung zu fixieren. Eine Folge ist jetzt nichts anderes als einen Funktion $\begin{eqnarray} a:\mathbb{N}\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Statt $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ schreibt man $\begin{eqnarray} a_n:=a(n) \end{eqnarray}$ . Auch diese Funktion kann man sich in einem Koordinatensystem veranschaulichen. Was ist dann $\begin{eqnarray} \{a_n:n\geq k\} \end{eqnarray}$ ? Es ist die Menge der Werte, die die Funktion a annimmt, wenn das Argument $\begin{eqnarray} n\geq k \end{eqnarray}$ ist. Das sind aber gerade alle Folgenglieder, deren Index $\begin{eqnarray} \geq k \end{eqnarray}$ ist. Du wirfst von deiner Ausgangsfolge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ gewissermaßen die ersten k-1 Folgenglieder einfach weg.
16.06.2014, 22:03	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt logisch Wie packe ich das denn jetzt mit dem Supremum und der Folge $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ zusammen?
16.06.2014, 22:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \{f(x):x\geq 10\} \end{eqnarray}$ ist eine Menge von reellen Zahlen. Davon kannst du das Supremum bilden und es S nennen. Aber dieses Supremum wird davon abhängen, auf welches Intervall du deine Funktion einschränkst. Deshalb nennst du dein Supremum $\begin{eqnarray} S_{10} \end{eqnarray}$ Bei der Folge passiert nichts anderes: Man bildet das Supremum der Menge $\begin{eqnarray} \{a_n:n\geq k\} \end{eqnarray}$ reeller Zahlen und nennt es $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ , damit man sich erinnert, dass man die ersten k-1 Folgenglieder weggeworfen hat.
16.06.2014, 22:34	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool, langsam wird alles klarer. Das heißt also, wenn ich weiß das $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ beschränkt ist also $\begin{eqnarray} a_n\leq S \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S\in\mathbb R \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} k\leq S \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} A_k \end{eqnarray}$ ebenfalls beschränkt. So richtig?
16.06.2014, 22:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, leider völlig falsch Um bei der Analogie zu bleiben: Du sagst, wenn $\begin{eqnarray} f(x)\leq S \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} x\leq S \end{eqnarray}$ Du musst scharf unterscheiden zwischen dem Argument x und dem Wert der Funktion f(x) - oder hier dem Folgenindex n und dem Folgenglied $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ Beschränktheit einer Funktion bedeutet $\begin{eqnarray} f(x)\leq M \mbox{ für alle } x \end{eqnarray}$ ; das gilt dann natürlich erst recht für alle $\begin{eqnarray} x\geq 10 \end{eqnarray}$ Beschränktheit einer Folge bedeutet $\begin{eqnarray} a_n\leq M \mbox{ für alle } n \end{eqnarray}$ ; das gilt dann natürlich erst recht für alle $\begin{eqnarray} n\geq k \end{eqnarray}$
16.06.2014, 23:03	eglof	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man, das hat alles keinen Sinn. Ich gebe auf und warte die Besprechung ab. Trotzdem vielen Dank für eure unermütliche Hilfe. Gruß eglof

Neue Frage »

Antworten »

Folge Konvergenz

Verwandte Themen