Beweis mittels Zwischenwertsatz

15.06.2014, 15:08

u44tmp

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Beweis mittels Zwischenwertsatz

Hi an alle!

Ich soll zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} x^{5} - x = c \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} c\geq 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [0,\infty ) \end{eqnarray*}$ eine Lösung hat.

Also:
Ich weiß mittlerweile, dass dies mit dem Zwischenwertsatz bewiesen werden soll.
Somit:
falls f eine stetige Funktion auf einem Intervall [a,b] ist und $\begin{eqnarray*} c \in [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$ , dann existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit f(x)=c.

Die Funktion läuft ja gegen unendlich womit für jedes c>0 ein $\begin{eqnarray*} x_{c} \end{eqnarray*}$ existiert mit
$\begin{eqnarray*} f(x_{c})>0 \end{eqnarray*}$
und nebenbei ist f(0)=0 eine Nullstelle. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} c\in [f(0),f(x_{c})] \end{eqnarray*}$

Wie komme ich nun weiter?

15.06.2014, 16:09

Che Netzer

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RE: Beweis mittels Zwischenwertsatz

Zitat:

Original von u44tmp
Die Funktion läuft ja gegen unendlich

Welche Funktion? Und wann läuft sie gegen Unendlich?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x_{c})>0 \end{eqnarray*}$

Hier meintest du wohl $\begin{eqnarray*} f(x_c)>c \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie komme ich nun weiter?

Eigentlich bist du (nach sauberem Aufschreiben – definiere insbesondere $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ !) schon fast fertig. Wende den Zwischenwertsatz auf die Einschränkung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,x_c] \end{eqnarray*}$ an.

15.06.2014, 16:37

u44tmp

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ja ich meinte $\begin{eqnarray*} f(x_{c}) > c \end{eqnarray*}$
sry.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{5}-x \end{eqnarray*}$
Der limes dieser Funktion geht ja gegen unendlich.

Und genau das ist mein Problem. Wie wende ich diesen hier konkret an? Ich finde keinen Ansatz, auch wenn das trivial sein sollte. Muss ich die Intervallgrenzen nun einfach einsetzen in $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{5}-x - c = 0 \end{eqnarray*}$ ?

15.06.2014, 16:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von u44tmp
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{5}-x \end{eqnarray*}$

Das ist keine Funktion, sondern vielmehr die Abbildungsvorschrift für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Der Definitionsbereich soll wohl $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ sein (?).

Zitat:

Der limes dieser Funktion geht ja gegen unendlich.

Welcher Limes? Z.B. ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to3}f(x) \end{eqnarray*}$ nicht Unendlich.

Zitat:

Muss ich die Intervallgrenzen nun einfach einsetzen?

Wenn ich richtig erraten habe, was du damit meinst: Ja. Probier es einfach mal.

15.06.2014, 16:50

u44tmp

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Welche Funktion meinst du denn dann konkret?

Ich meinte den Limes gegen Unendlich.

Hier weiß ich aber nun nicht genau wie.
Erstens: Was mache ich mit dem c? Beim Einsetzen der Null komme ich ja auf -c.
und die rechte Intervallgrenze ist ja $\begin{eqnarray*} x_{c} \end{eqnarray*}$ wodurch ich auf
$\begin{eqnarray*} x_{c}^{5} - x_{c} - c \end{eqnarray*}$ komme.

15.06.2014, 17:21

Che Netzer

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Zitat:

Original von u44tmp
Ich meinte den Limes gegen Unendlich.

Für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich, ja.

Zitat:

Beim Einsetzen der Null komme ich ja auf -c.
und die rechte Intervallgrenze ist ja $\begin{eqnarray*} x_{c} \end{eqnarray*}$ wodurch ich auf
$\begin{eqnarray*} x_{c}^{5} - x_{c} - c \end{eqnarray*}$ komme.

Hm, da hast du nachträglich einen Fehler in den obigen Beitrag hineineditiert.
Du betrachtest $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5-x \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5-x-c \end{eqnarray*}$ . Und du möchtest zeigen, dass ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5-x=c \end{eqnarray*}$ .

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15.06.2014, 17:45

u44tmp

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Achso... da hatte ich noch überlegt, ob in die Gleichung mit oder ohne c. Dann wäre das also:

Ergebnis 0 für die linke Grenze und Ergebnis $\begin{eqnarray*} 5x_{c}-x_{c} \end{eqnarray*}$ für die rechte. So korrekt? Das wars dann aber noch nicht oder?

15.06.2014, 18:01

Che Netzer

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Zitat:

Original von u44tmp
und Ergebnis $\begin{eqnarray*} 5x_{c}-x_{c} \end{eqnarray*}$ für die rechte.

verwirrt

15.06.2014, 18:20

u44tmp

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Tut mir leid ich meinte

$\begin{eqnarray*} x_{c} ^{5}-x_{c} \end{eqnarray*}$

Ist die Aussage damit fertig?

15.06.2014, 18:25

Che Netzer

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Eine Aussage ist nicht "fertig". Wenn du meinst, ob sie bewiesen ist: Hast du den Zwischensatz denn mittlerweile anwenden können?

15.06.2014, 18:33

u44tmp

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naja ich weiß nicht genau wo. Die Anwendung des ZWS beruht ja dadrauf, dass beim Einsetzen der beiden Intervallgrenzen ein Wert echt kleiner Null und einer echt größer Null sein muss, damit ein passendes $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ gefunden wird. Bei der linken Intervallgrenze bin ich aber = 0.
Wie mache ich das nun?

15.06.2014, 19:31

Che Netzer

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Zitat:

Original von u44tmp
Die Anwendung des ZWS beruht ja dadrauf, dass beim Einsetzen der beiden Intervallgrenzen ein Wert echt kleiner Null und einer echt größer Null sein muss, damit ein passendes $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ gefunden wird.

Du suchst aber keine Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Wenn du das tun möchtest, könntest du auch $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5-x-c \end{eqnarray*}$ betrachten. Aber die Formulierung des Zwischenwertsatzes, die du oben genannt hast, reicht vollkommen aus.

15.06.2014, 19:56

u44tmp

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Reicht es denn, wenn ich nun sage, dass damit ein $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ existiert mit f(x) = c ?
Im Prinzip wüsste ich sonst nicht, was ich davon genau anwenden sollte.

15.06.2014, 19:58

Che Netzer

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Du müsstest nur sagen, was $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind.

15.06.2014, 20:07

u44tmp

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Naja die Intervallgrenzen in denen sich das x befindet auf welches c abgebildet wird.

0 und Unendlich? oder 0 und $\begin{eqnarray*} x_{c} \end{eqnarray*}$ ? bzw. muss das konkret genannt werden?

16.06.2014, 18:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von u44tmp
Naja die Intervallgrenzen in denen sich das x befindet auf welches c abgebildet wird.

"welches auf", nicht "auf welches".

Zitat:

0 und Unendlich?

Nein, denn der Zwischenwertsatz erwartet endliche Intervallgrenzen.

Zitat:

oder 0 und $\begin{eqnarray*} x_{c} \end{eqnarray*}$ ?

Ja.

Zitat:

bzw. muss das konkret genannt werden?

Natürlich muss man angeben, auf welche Funktion und welches Intervall man den Zwischenwertsatz anwendet.

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