Kompakte Menge

15.06.2014, 16:42

Jefreyl

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Kompakte Menge

Ich möchte gerne folgende Menge auf Kompaktheit überprüfen:

$\begin{eqnarray*} S^{2} =\left\{ (a,b,c,d \in \mathbb R ^{4});a^2+b^2+c^2+d^2=1 \right\} \end{eqnarray*}$

Nun weiss ich, dass gilt:

Kompakte Menge = Abgeschlossen Menge + Beschränkte Menge

Nun weiss ich aber z.b. nicht wie ich die Menge auf abgeschlossenheit überprüfen kann. Ich weiss, dass eine Menge abgeschlossen ist, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge (Xn), deren Glieder alle in A liegen wieder in A liegt. Aber hier anwenden kann ich das irgendwie nicht, da mich ds mehrdimensionale schon etwas verunsichert.

Wie macht man das denn am besten? Danke im vorraus!

15.06.2014, 16:46

Che Netzer

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RE: Kompakte Menge

Zitat:

Original von Jefreyl
$\begin{eqnarray*} S^{2} =\left\{ (a,b,c,d \in \mathbb R ^{4});a^2+b^2+c^2+d^2=1 \right\} \end{eqnarray*}$

So steht es doch bestimmt nicht in der Aufgabenstellung.

Zitat:

Kompakte Menge = Abgeschlossen Menge + Beschränkte Menge

Natürlich eine sinnfreie Gleichung, aber ja, Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ sind genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen sind.

Zitat:

Ich weiss, dass eine Menge abgeschlossen ist, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge (Xn), deren Glieder alle in A liegen wieder in A liegt.

Oder wenn sie das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion ist. Ist das bekannt?

15.06.2014, 16:57

Jefreyl

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Ganz genau muss es eigentlich

$\begin{eqnarray*} S^{3} =\left\{ (a,b,c,d \in \mathbb) R ^{4};a^2+b^2+c^2+d^2=1 \right\} \end{eqnarray*}$

sein. Dabei handelt es sich um die Nebenbedingung von folgender Funktion f(a, b, c, d) = a^2 +b^2 +c^2 -d^2 (Extrema mit Nebenbedingung). Ich möchte aber gar nicht auf die Extremaberechnung eingehen, da ich mich hier nur mit der Kompaktheit der Nebenbedingung auseinandersetzen will, um zu zeigen das f auf S^3 sein Maximum und Minimum annimmt.

Also letztendlich möchte ich lernen wie ich allgemein Mengen bzw. Funktionen auf Kompaktheit überprüfen kann.

,,Oder wenn sie das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion ist. Ist das bekannt? "

Das ist mir leider nicht bekannt.

15.06.2014, 16:59

Jefreyl

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Oben ist mir wohl ein Fehlter unterlaufen.

$\begin{eqnarray*} S^{3} =\left\{ (a,b,c,d ) \in \mathbb R ^{4};a^2+b^2+c^2+d^2=1 \right\} \end{eqnarray*}$

15.06.2014, 17:24

Jefreyl

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Ich habe gerade ein ähnliches Beispiel gefunden, was jedoch nicht wie man auf die Lösung kommt, es geht nämlich um die Menge

{(x,y) € IR^2;x^4+y^2=3}

Lösung:

abgeschlossen, da es sich um das Urbild der Menge {3} unter der stetigen Abbildung f(x,y)=x^4+y^2 handelt; zusammenhängend; kompakt nach Heine-Borel, da offensichtlich beschränkt.

Wenn man das jetzt bei meiner genannten Menge analog aufschreibt, sollte das wohl der Beweis sein, jetzt muss ich das aber erst verstehen. verwirrt

verwirrt

15.06.2014, 17:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von Jefreyl
Also letztendlich möchte ich lernen wie ich allgemein Mengen bzw. Funktionen auf Kompaktheit überprüfen kann.

Naja, wenn es um Mengen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ geht, überprüft man auf Beschränktheit und auf Abgeschlossenheit. Wie man dies jeweils tut, hängt von der Menge ab.
Und Funktionen sollt ihr wahrscheinlich nicht auf Kompaktheit überprüfen (oder doch?).

Hier kannst du ja mit der Beschränktheit anfangen. Hast du dazu eine Idee?

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15.06.2014, 17:44

Jefreyl

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Ich habe Funktion ebenfalls genannt, da hier in meinem Skript die Nebenbedingung als Funktion g(vector(x)) auf Kompaktheit betrachtet wird anstatt die Menge.

Eine Menge ist ja beschränkt wenn sie eine Obere Schranke oder untere Schranke besitzt. Das konnte ich einfach bei Funktionen oder bei Intervallen wie [x,y] anwenden, aber hier ist das ganze schon etwas komplizierter, deshalb weiss ich nicht ganz wie ich das zeigen kann.

15.06.2014, 18:00

Che Netzer

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Zitat:

Original von Jefreyl
Ich habe Funktion ebenfalls genannt, da hier in meinem Skript die Nebenbedingung als Funktion g(vector(x)) auf Kompaktheit betrachtet wird anstatt die Menge.

Der Satz ergibt keinen Sinn verwirrt

verwirrt

Zitat:

Eine Menge ist ja beschränkt wenn sie eine Obere Schranke oder untere Schranke besitzt.

Und was sollen obere/untere Schranken für Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ sein?

15.06.2014, 18:09

Jefreyl

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Zitat:

Original von Jefreyl
Oben ist mir wohl ein Fehlter unterlaufen.

$\begin{eqnarray*} S^{3} =\left\{ (a,b,c,d ) \in \mathbb R ^{4};a^2+b^2+c^2+d^2=1 \right\} \end{eqnarray*}$

Bzgl. deiner Frage.

Die Obere und Untere Schranke im IR^4 ist ja vorhanden, wenn die Elemente der vorgegebenen Menge eine gemeinsame Schranke nicht überschreiteten. Aber wie ich das zeigen soll weiss ich immer noch nicht.^^

15.06.2014, 18:15

Che Netzer

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Was verstehst du denn unter "überschreiten", was soll eine Schranke sein?
Versuche mal, vollständig zu definieren, wann eine Menge im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ beschränkt heißt.

15.06.2014, 18:28

Jefreyl

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Naja, eine Schranke ist ja einfach nur ein Element welches bzgl. meiner vollständigen vorgegebenen Menge kleiner/größer gleich ist verwirrt

verwirrt

Wobei auch Supremum - Obere Schranke und Infimum - Untere Schranke genannt wird.

Wie ich das nun aber im IR^n anwenden soll fällt mir nicht ein.

15.06.2014, 19:07

Jefreyl

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Alternativ könntest du mir ja zum Beispiel zeigen wie man bei

{(x,y) € IR^2;x^4+y^2=3}

die Kompaktheit zeigt. Ich finde leider nicht wirklich viel im Internet, das zum Thema Hilfe beiträgt. verwirrt

verwirrt

15.06.2014, 19:29

Che Netzer

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Zitat:

Original von Jefreyl
Naja, eine Schranke ist ja einfach nur ein Element welches bzgl. meiner vollständigen vorgegebenen Menge kleiner/größer gleich ist

Größer/kleiner als was?

Zitat:

Wie ich das nun aber im IR^n anwenden soll fällt mir nicht ein.

Eben. Schlag nach, wie ihr Beschränktheit von Mengen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ definiert habt.

15.06.2014, 19:37

Jefreyl

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Wir haben dazu noch keine Definition, da wir immer ,,etwas" vorarbeiten sollen in Bezug zu Definitionen und pro Woche in der kleinen Übung 5 Stichwörter (Die letzte beinhaltete auch Kompakte Teilmengen im IR^n) vorbereiten sollen. Und eine korrektur gibt es nicht bis zur Vorleungsdefinition.

Letztendlich ging es um folgende drei Mengen die ich in Bezug zu Extrema mit Nebenbedingung untersuchen muss

1. $\begin{eqnarray*} S^{3} =\left\{ (a,b,c,d ) \in \mathbb R ^{4};a^2+b^2+c^2+d^2=1 \right\} <br /> \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} M =\left\{ (x,y,z) \in \mathbb R ^{3};x^2+y^2=2, x+z=1 \right\} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} M =\left\{ (x,y) \in \mathbb R ^{2};9x^2+4y^2-18x-8y\leq 23 \right\} \end{eqnarray*}$

Da ja die Kompaktheit der Nebenbedingung (Die oben genannten Mengen) aufschluss über Maxim und Minima geben..

15.06.2014, 19:39

Jefreyl

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Kannst du mir sagen wieso

{(x,y) € IR^2;x^4+y^2=3}

beschränkt ist, vielleicht kann ich das dann auf meine Mengen anwenden.

15.06.2014, 19:44

Che Netzer

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Hm... Und wurde euch auch vorgeschlagen, wie ihr die Begriffe vorarbeiten sollt? Das ganze Konzept ist aber wohl dazu gedacht, zum eigenständigen Recherchieren anzuregen. Den Begriff der Beschränktheit einer Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kannst du also tatsächlich selbst heraussuchen. Das Stichwort "Euklidische Norm" könnte dabei auch hilfreich sein.

15.06.2014, 20:02

Jefreyl

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Ich finde wirklich nichts das mir weiterhilft (sonst würde ich ja hier nicht nachfragen), deshalb frage ich nochmal, ob du mir nicht sagen kannst wie man da so vorgeht. Bei der Musterlösung von

{(x,y) € IR^2;x^4+y^2=3}

wird gesagt das soforterkennbar ist, dass diese bschränkt ist. Ich erkenne aber rein gar nichts. verwirrt

verwirrt

15.06.2014, 20:52

Jefreyl

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Ich habe mal paar Mengen bei Wolfram Alpha eingegeben, wobei mich nur die zweite Menge von

1. $\begin{eqnarray*} S^{3} =\left\{ (a,b,c,d ) \in \mathbb R ^{4};a^2+b^2+c^2+d^2=1 \right\} <br /> \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} M =\left\{ (x,y,z) \in \mathbb R ^{3};x^2+y^2=2, x+z=1 \right\} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} M =\left\{ (x,y) \in \mathbb R ^{2};9x^2+4y^2-18x-8y\leq 23 \right\} \end{eqnarray*}$

auf eine richtige Lösung bringt. Es handelt sich um den Einheitskreis und somit ist die beschränkt ? Ich habe x=1-z dabei verwendet und das in die erste Gleichugn eingesetzt. Rest ist leider weiterhin noch unklar.

16.06.2014, 14:50

Jefreyl

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So jetzt habe ich vorhin noch folgende Definition gefunden:

Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ heißt beschränkt wenn ein $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | | x | | \leq a \forall x\in M \end{eqnarray*}$ existiert.[/quote]

Demnach sollte das erste nicht unbeschränkt sein, denn wenn ich zb. den Betrag vom Vektor (0,0,g,g-1) nehme dann wächst das ja unendlich mit zunehmenden g und hat demnach keine Schranke a.

16.06.2014, 18:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von Jefreyl
Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ heißt beschränkt wenn ein $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | | x | | \leq a \forall x\in M \end{eqnarray*}$ existiert.

Na bitte, geht doch.
Der Quantor ist hier formal gesehen allerdings an der falschen Stelle (und ich würde generell auf Quantoren verzichten).

Zitat:

Demnach sollte das erste nicht unbeschränkt sein

Nicht beschränkt meinst du?

Zitat:

denn wenn ich zb. den Betrag vom Vektor (0,0,g,g-1) nehme dann wächst das ja unendlich mit zunehmenden g und hat demnach keine Schranke a.

Dieser Vektor liegt allerdings nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb S^3 \end{eqnarray*}$ . Beachte stattdessen $\begin{eqnarray*} \bigl\lVert(a,b,c,d)\bigr\rVert=a^2+b^2+c^2+d^2 \end{eqnarray*}$ .

16.06.2014, 19:48

Jefreyl

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Hallo.

Ja genau nicht beschränkt meine ich. Das ist aber sicher falsch, da ja die Menge eine Nebenbedingung darstellt und ich bereits weiss das die gegebene Funktion bzgl. dieser Nebenbedingung das Maximum und Minimum annimmt.

Wo bleibt den die Wurzel über den vier Quadrierten und zusammenaddierten Variablen? Und wieso liegt denn der Vektor den ich genannt habe nicht in S^3 ? Er er füllt doch die Bedingung a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =1

16.06.2014, 22:55

Che Netzer

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Zitat:

Original von Jefreyl
Das ist aber sicher falsch, da ja die Menge eine Nebenbedingung darstellt und ich bereits weiss das die gegebene Funktion bzgl. dieser Nebenbedingung das Maximum und Minimum annimmt.

Das sagt nichts darüber aus, ob eine Menge beschränkt ist.

Zitat:

Wo bleibt den die Wurzel über den vier Quadrierten und zusammenaddierten Variablen?

Die darfst du meinetwegen ergänzen. Der Wert bleibt aber Eins, wenn wir in $\begin{eqnarray*} \mathbb S^3 \end{eqnarray*}$ sind.

Zitat:

Und wieso liegt denn der Vektor den ich genannt habe nicht in S^3 ? Er er füllt doch die Bedingung a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =1

Nein. Es ist im allgemeinen $\begin{eqnarray*} g^2+(g-1)^2\neq1 \end{eqnarray*}$ .

16.06.2014, 23:02

Jefreyl

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Mir ist gerade aufgefallen, dass ich vergessen hatte die Werte zu Quadrieren heißt ich hatte nur a+b+c+d=1 betrachtet. Wie bekommt man den am besten einen Allgemeinen Vektor herraus der die Bedingung erfüllt oder muss man tatsächlich probieren?

Mir fällt nämlich spontan gar keiner ein außer (1,0,0,0); (0,1,0,0) ... (0,0,0,1).

16.06.2014, 23:05

Che Netzer

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Was möchtest du überhaupt mit solchen Vektoren? Ganz allgemein kannst du dir jedenfalls irgendeinen Vektor (außer Null) nehmen und ihn durch seine Norm teilen. Dann landest du in $\begin{eqnarray*} \mathbb S^3 \end{eqnarray*}$ .

16.06.2014, 23:13

Jefreyl

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Du meinst sicher (v soll einen Vektor v darstellen)

v/ Betrag(v)=1

Sehr schlau, darauf wäre ich definitiv nicht gekommen. Aber ich wundere mich gerade, denn sollen die Komponente des Vektors nicht quadriert werden und als Summe 1 ergeben? Etwas bin ich schon verwirrt.

16.06.2014, 23:15

Che Netzer

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Zitat:

Original von Jefreyl
v/ Betrag(v)=1

Was für eine Art von Eins soll das denn sein? Der Vektor auf der linken Seite hat Norm Eins und liegt deshalb in $\begin{eqnarray*} \mathbb S^3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber ich wundere mich gerade, denn sollen die Komponente des Vektors nicht quadriert werden und als Summe 1 ergeben?

Und worüber wunderst du dich nun? Die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^2+b^2+c^2+d^2=1 \end{eqnarray*}$ bedeutet ja nichts anderes als $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=1 \end{eqnarray*}$ .

16.06.2014, 23:23

Jefreyl

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Danke sehr, ich brauche jedoch definitiv noch viel Übung darin.

Wenn ich das nun auf die Definition anwende ist ja x in diesem Fall unser v/Betrag(v) oder?

Und da der Betrag davon ebenfalls 1 ergibt und es kleiner gleich als ihre Obere Schranke 1 ist, ist die Menge beschränkt. Macht man das so ?

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