Implizite Funktionen

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Dumbo2000 Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktionen
Meine Frage:
Hallo,
es geht um folgendes Gleichungssystem:
x+2y^2+3z^3=0
e^x+e^2y+e^3z=3
Dazu sollen wir folgende Aufgaben bearbeiten:
(a) Bestimmen Sie eine Lösung(x0,y0,z0) des Gleichungssystems und zeigen Sie, dass sich das System nahe (x0,y0,z0) nach x,y als Funktionen von z auflösen lässt.
(b) Seien z -> x(z) und z -> y(z) die Lösungsfunktionen aus (a). Bestimmen die x'(z0) und y'(z0).

Meine Ideen:
Also als Löung des gleichungssytems hätte ich jetzt einfach den Punkt (x0,y0,z0)=(0,0,0) gewählt.
Allerdings tu ich mich schwer damit den Satz über implizite Funktionen zu verstehen und weiß leider nicht wie ich den Rest beweisen soll..
Könnt ihr mir irgendwie dabei helfen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Hinweis vorweg: Wenn du e^2y schreibst, dann bedeutet das . Das ist aber sicher nicht gemeint. Setze also Klammern: e^(2y). Oder noch besser - verwende Latex: . Analog bei e^3z.

Das Gleichungssystem kann mit Hilfe der Funktion , gegeben durch



auf die Form



gebracht werden (die Null steht für die zweireihige Nullspalte). Eine spezielle Lösung hast du gefunden: . Nun ist gefragt, ob es in einer Umgebung von (man kann hier für ein offenes Intervall nehmen) eine Funktion mit den Komponenten gibt, so daß



gilt. Dabei ist nicht gefordert, explizit anzugeben. Lediglich die Existenz einer solchen Funktion ist zu überprüfen. Darüber gibt der Satz über implizite Funktionen Auskunft. Hinreichend für die Existenz der Funktion ist, daß die Determinante der Funktionalmatrix nur bezüglich der Variablen , also



an der Stelle nicht verschwindet (natürlich sind hier die Komponentenfunktionen von ). Rechne das einfach nach. Damit hättest du Teil a) dann gelöst.

Die Funktionen und aus Teil b) sind die, die bei mir und heißen. Ich halte es für sinnvoll, hier der Übersichtlichkeit halber einen eigenen Bezeichner zu verwenden. Für gilt nach dem Satz über implizite Funktionen:



Mit ist entsprechend die Funktionalmatrix bezüglich der Variablen gemeint. Im konkreten Fall ist das ein zweireihiger Spaltenvektor. Der Exponent steht für die inverse Matrix und der Malpunkt für das Matrizenprodukt. Letztlich mußt du dann diese Formel für auswerten.
Dumbo2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das hat mir echt sehr geholfen :-)
Kannst du mir vielleicht noch kurz sagen, ob x'(0)=0 und y'(0)=-9/4 stimmt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]34626[/attach]

Ich habe



erhalten. Die Bilder zeigen die Graphen mit der -Achse nach rechts und der - bzw. der -Achse nach oben. Zeichnet man im rechten Bild im Ursprung ein kleines Steigungsdreieck ein, so muß man auf einen Schritt nach rechts etwa anderthalb Schritte nach unten gehen. Das deutet darauf hin, daß stimmt.
Dumbo2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast recht, hab mein Rechenfehler gefunden :-)
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