Wachstumsverhalten von Bakterien

15.06.2014, 17:52

ElliPirelli99

Wachstumsverhalten von Bakterien

Meine Frage:
Ich rechne gerade die Augabe 2: Bakterienwachstum (Link: http://bildungsserver.hamburg.de/contentblob/3871928/data/ma1-lklm-awt-2009.pdf) und komme einfach nicht weiter!
Ich weiß nicht, wie ich beweisen soll, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} F_{1,k} (t)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
...hab nicht so richtig einen Plan, weil wir das noch nie gemacht haben.
Ich würde vielleicht für t einfach 0 einsetzen?

15.06.2014, 18:53

mYthos

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Ja, sicher, setze einfach für t = 0 in der Funktionsgleichung ein! Welchen Wert hat exp(0)?

mY+

15.06.2014, 20:47

ElliPirelli99

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Was ist exp(0) ?

15.06.2014, 20:49

ElliPirelli99

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Kannst du mir auch noch bei der nächsten Aufgabe helfen?
"Zeigen Sie, dass für jedes k die Funktion 1,k F für t→∞ gegen eine endliche Zahl geht und bestimmen Sie diesen Grenzwert in Abhängigkeit von k."

Wie bestimme ich denn den Grenzwert?

15.06.2014, 21:59

mYthos

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Bitte führe NICHT ein gedankenlos copy 'n' paste durch, es ist eine Unhöflichkeit, das Geschreibsel wird unleserlich und verärgert die Helfer, welche dieses nicht mühsam erraten wollen. Du solltest auch die Vorschau-Funktion benützen, bevor du den Beitrag absendest!

$\begin{eqnarray*} \exp(0) = e^0 \end{eqnarray*}$

Anstatt $\begin{eqnarray*} a^{-t} \end{eqnarray*}$ kann man auch $\begin{eqnarray*} \frac 1 {a^t} \end{eqnarray*}$ schreiben. Gegen welchen Wert strebt dieser Bruch nun, wenn $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ geht?

mY+

17.06.2014, 07:25

ElliPirelli99

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Hab nicht daran gedacht, dass ich eine Formel kopiert habe, sorry! Hammer

$\begin{eqnarray*} e^{0} \end{eqnarray*}$ ist 1!

Dementsprechend:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-(1)*1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$
Oder? Wie werde ich das k unterm Bruchstrich los?

Steh gerade so ein bisschen aufm Schlauch traurig

Woher hast du denn das $\begin{eqnarray*} a^{-t} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn " $\begin{eqnarray*} e^{\infty} \end{eqnarray*}$ " geht e gegen null?

17.06.2014, 08:45

mYthos

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Also, erstens, e ist die Euler'sche Zahl, und diese kann nicht irgendwohin gehen, sie bleibt natürlich e.
Wohl aber ihre Potenz. Steht im Exponenten ein negatives Vorzeichen, so kommt die Potenz in den Nenner. Und wenn der Nenner nun unendlich groß wird, geht der ganze Bruch gegen Null, sofern der Zähler konstant ist.

Bei Ft ist dies nach Trennung in zwei Teilbrüche (der erste ist $\begin{eqnarray*} \frac a {k^2} \end{eqnarray*}$ ) aber nicht der Fall, denn im zweiten Bruch steht noch ein Ausdruck in t.
Somit musst du dort mittels der Regel von L'Hospital Zähler und Nenner getrennt ableiten, dabei wird der Zähler jetzt konstant und der Nenner bleibt unendlich.
Infolgedessen ist der Grenzwert des zweiten Bruches Null und es bleibt als Gesamtgrenzwert $\begin{eqnarray*} \frac a {k^2} \end{eqnarray*}$ .

Zweitens musst du k nicht loswerden, k ist ein fester (endlicher) Parameter.
Du solltest ja nur zeigen, dass für t --> 0 ein endlicher Grenzwert existiert, dieser ist daher $\begin{eqnarray*} \frac 1 {k^2} \end{eqnarray*}$ und der Ausdruck ist endlich.
1 im Zähler deshalb, weil $\begin{eqnarray*} e^0 \end{eqnarray*}$ tatsächlich 1 ist.

Drittens:
a (a > 0) war nur ein Beispiel, es hat dasselbe Verhalten wie e.

mY+

21.06.2014, 14:09

ElliPirelli99

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Zitat:

Original von mYthos
Also, erstens, e ist die Euler'sche Zahl, und diese kann nicht irgendwohin gehen, sie bleibt natürlich e.
Wohl aber ihre Potenz. Steht im Exponenten ein negatives Vorzeichen, so kommt die Potenz in den Nenner. Und wenn der Nenner nun unendlich groß wird, geht der ganze Bruch gegen Null, sofern der Zähler konstant ist.

Soweit klar, dass heißt einfach nur, dass ich $\begin{eqnarray*} a^{-t} \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{t} } \end{eqnarray*}$ schreiben kann.

Zitat:

Original von mYthos
Bei Ft ist dies nach Trennung in zwei Teilbrüche (der erste ist $\begin{eqnarray*} \frac a {k^2} \end{eqnarray*}$ ) aber nicht der Fall, denn im zweiten Bruch steht noch ein Ausdruck in t.
Somit musst du dort mittels der Regel von L'Hospital Zähler und Nenner getrennt ableiten, dabei wird der Zähler jetzt konstant und der Nenner bleibt unendlich.
Infolgedessen ist der Grenzwert des zweiten Bruches Null und es bleibt als Gesamtgrenzwert $\begin{eqnarray*} \frac a {k^2} \end{eqnarray*}$ .

Da komm ich irgendwie noch nicht ganz mit. Kannst du mir die zwei Brüche einmal aufschreiben? Die Regel von L'Hospital kenn ich nicht, brauche ich die unbedingt?

23.06.2014, 08:36

mYthos

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$\begin{eqnarray*} f_{a,k} = \frac{a - a(1+kt)e^{-kt}}{k^2} = \frac a {k^2} - \frac{a(1+kt)e^{-kt}}{k^2} = \frac a {k^2} - \frac a {k^2} \cdot \frac{(1+kt)}{e^{kt}} \end{eqnarray*}$

Der erste Bruch geht nun gegen $\begin{eqnarray*} \frac a {k^2} \end{eqnarray*}$ , der zweite gegen Null (für $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ ).

L'Hospital ist anzuwenden, wenn der Ausdruck nach dem Einsetzen der Grenze zu $\begin{eqnarray*} \frac 0 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ wird (unbestimmte Formen).
Dabei sind Zähler und Nenner getrennt abzuleiten, so lange, bis der Ausdruck nicht mehr unbestimmt wird.

mY+

09.07.2014, 17:22

Ellipirelli99

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Dankeschön!

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