Maximum Likelihoodschätzer von quadriertem Schätzer

15.06.2014, 20:03	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum Likelihoodschätzer von quadriertem Schätzer Die Methode zur Gewinnung ist prinzipiell bekannt; Was aber mache ich bei einer solchen Aufgabe, X_1,...,X_n seien eine Zufallsstichprobe, X_i aus Bin(1,p), wobei p aus (0,1) für alle i von 1 bis n Jetzt will ich aber nicht den ML Schätzer von p, sondern von p^2 Was mache ich jetzt?
16.06.2014, 21:07	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kann doch nicht sein, dass niemand eine Ahnung davon hat?
17.06.2014, 08:41	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Da musst du gar nichts machen. Der ML-Schätzer von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist der Wert von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , der die Likelihood $\begin{eqnarray} L(p;S) \end{eqnarray}$ maximiert. Dabei steht S symbolisch für das Stichprobenergebnis. Da nun im zu betrachtenden Bereich $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ eine streng monotone Funktion von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist, ist der ML-Schätzer von $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ das Quadrat des ML-Schätzers von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Du kannst natürlich auch $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ als Parameter in der Likelihood benutzen und dann nach $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ ableiteten. So kommst du auch auf das genannte Ergebnis.
17.06.2014, 13:06	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen, vielen Dank für deine Antwort; Allerdings komme ich bei der 2. von dir genannten Möglichkeit auf ein anderes Ergebnis; Der ML-Schätzer von p ist k/n, dadurch sollte der von p^2 k^2/n^2 sein; Nun stelle ich aber die Likelihoodfunktion für p^2 auf: $\begin{eqnarray} L(p^2)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}(p^2)^k(1-p^2)^{n-k} \end{eqnarray}$ Abgeleitet nach p^2: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}(k(p^2)^{k-1}(1-p^2)^{n-k}-(p^2)^{k}(1-p^2)^{n-k-1}(n-k)) \end{eqnarray}$ 0 setzen ergibt: k/n, also nicht quadriert; Oder habe ich einen Fehler gemacht
17.06.2014, 13:33	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst nicht einfach die Likelihood ändern. Du sollst sie nur als Funktion von $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ schreiben. Sei $\begin{eqnarray} x=p^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} p = \sqrt x \end{eqnarray}$ . Dann hat man (Vorfaktor weggelassen): $\begin{eqnarray} L=p^k(1-p)^{n-k}=\sqrt x^k(1-\sqrt x)^{n-k} \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \frac {dL}{dx}=\frac {dL}{dp} \frac {dp}{dx} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac {dp}{dx}\neq 0 \text{ (strenge Monotonie)} \end{eqnarray}$ erzwingt $\begin{eqnarray} \frac {dL}{dx}=0 \rightarrow \frac {dL}{dp}=0 \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich das von mir genannte Ergebnis $\begin{eqnarray} \hat x =\hat p^2 = \frac {k^2}{n^2} \end{eqnarray}$
17.06.2014, 19:17	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es nur eine Möglichkeit gäbe, dass du die Übungsblätter in diesem Fach machen könntest Vielen, vielen Dank!
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