LGS Modulo umformung

15.06.2014, 20:55

akamanston

LGS Modulo umformung

hi,

nur eine kurze logikfrage.

wenn ich ein lgs in modulo lösen soll, muss ich das lgs dann erst mal nomral (ohne mod) lösen und anschließend transformieren oder muss ich das vorher schon umschreiben als modulo?

nach her klingt logischer... ?

15.06.2014, 21:31

Gast11022013

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Es ist egal.

15.06.2014, 21:58

akamanston

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hm weil ich komm damit nicht klar.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|3 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|3 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 0 &0&|1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

noch ist nichts transformiert. aber was nun? das lgs hat ohne modulo(wenn ichs richtig umgeformt haabe) keine lösung. in mod5 etwa schon? aber mit mod 5 ändert sich doch nichts??

15.06.2014, 22:57

RavenOnJ

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Bei dir ist also $\begin{eqnarray*} 4=0\!\!\!\!\mod 5 \end{eqnarray*}$ ??

15.06.2014, 22:59

akamanston

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ähm nein das ist auch bei mir was anderes. aber wie gesagt, ich habe bisher klassisch umgeformt. mehr nicht.

15.06.2014, 23:53

Mathesüchtiger

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Die letzte Komponente im Spaltenvektor rechts ist eine 0

16.06.2014, 00:12

akamanston

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ganznormale gaußumformung, oder habe ich einen fehler drin?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|3 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|12 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|3 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & -2 &-3&|-10\end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|3 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 0 &0&|1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.06.2014, 00:17

Iorek

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Wie kommt du in der letzten Umformung denn auf die 1 in der letzten Zeile?

16.06.2014, 00:20

Mathesüchtiger

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In der 2. Matrix hast du ja 12 stehen. 12 mod 5 = 2. und 2-2 = 0.

16.06.2014, 09:10

RavenOnJ

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RE: LGS Modulo umformung

Zitat:

Original von akamanston

nach her klingt logischer... ?

Vorher ist i.d.R einfacher, da man mit kleineren Zahlen operiert. Anstatt -10 beispielsweise 0 bei mod 5. Außerdem ist das keine "logikfrage" bzw. ich weiß wohl nicht, was du unter "Logik" verstehst.

25.06.2014, 20:18

akamanston

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RE: LGS Modulo umformung
hi, jetzt muss ich mich nochmal melden.
meine lösung ist nämlich immer noch falsch.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|3 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|12 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|2 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & -2 &-3&|-10\end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|2 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 2 &3&|0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|2 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 0 &0&|0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun erhalte ich folgende lösung.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

doch die richtige lösung ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} t\in F_{5} \end{eqnarray*}$

26.06.2014, 11:32

RavenOnJ

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RE: LGS Modulo umformung

Zitat:

Original von akamanston

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|3 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|12 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|{\color{red}2} \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & -2 &-3&|-10\end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|2 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 2 &3&|0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|2 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 0 &0&|0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Rote ist falsch, der Rest dürften dann Folgefehler sein. Du hättest übrigens sofort im 1. Schritt das 4-fache der 1. Zeile von der 3. Zeile abziehen können, ohne diese Zwischenmultiplikation. Außerdem würde ich konsequent im $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ rechnen, also mit $\begin{eqnarray*} \{0,1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ , dann würde sowas wie $\begin{eqnarray*} -2=3,-3=2 \end{eqnarray*}$ werden und $\begin{eqnarray*} 12=2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -10=0 \end{eqnarray*}$ . Ich finde das persönlich einfacher, wenn man sich mal daran gewöhnt hat.

Zitat:

doch die richtige lösung ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} t\in F_{5} \end{eqnarray*}$

Diese Lösung ist allerdings richtig.

26.06.2014, 14:37

akamanston

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RE: LGS Modulo umformung
ich kanns immer noch nicht.

du hast geschrieben

Zitat:

Du hättest übrigens sofort im 1. Schritt das 4-fache der 1. Zeile von der 3. Zeile abziehen können, ohne diese Zwischenmultiplikation.

genau das habe ich doch gemacht. ich habe nur meinen gedanken (mit 4 multiplizieren) einfach aufgeschrieben.

die 12 habe ich einfach umgewandelt zu 2 weil 12mod5=2 ist. das hast du mir doch oben geschrieben.

26.06.2014, 15:00

RavenOnJ

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RE: LGS Modulo umformung
Dann musst du in deiner Matrix (die negativen und großen Zahlen lasse ich mal stehen) aber entweder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|12 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|2 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & -2 &-3&|-10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|12 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 &|3 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & -2 &-3&|-10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

schreiben. Du hast in der 1. Zeile der rechten Matrix eine unzulässige Mischung aus der 1. und der 2. Form geschrieben.

26.06.2014, 15:06

akamanston

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RE: LGS Modulo umformung
ok, und nun kann ich doch so weiter machen oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|12 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|2 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & -2 &-3&|-10\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2& 2 &|1 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 2 &3&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

26.06.2014, 15:29

RavenOnJ

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RE: LGS Modulo umformung

Zitat:

Original von akamanston
ok, und nun kann ich doch so weiter machen oder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|12 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 4 & 2 &1&|2 \end{pmatrix} \Rightarrow\begin{pmatrix} 4 & 4& 4 &|2 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & -2 &-3&|-10\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 2& 2 &|1 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 2 &3&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die erste Folgerung ist jetzt richtig, ich hätte allerdings 1,1,1,3 gewählt. Die zweite ist leider jetzt falsch. Zahlendreher? Selbst wenn du meinst, du hättest einfach die Zeile mit -1 multiplziert und das würde so passen, so ist das leider nicht so. Es gilt in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{align*} -1\cdot 2&=4\cdot 2 = 3 \\ -1\cdot 3&=4\cdot 3 = 2 \end{align*}$

26.06.2014, 15:43

akamanston

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RE: LGS Modulo umformung

Zitat:

Original von RavenOnJ
Die erste Folgerung ist jetzt richtig, ich hätte allerdings 1,1,1,3 gewählt.

was heißt denn gewählt, ich habe einfach mit 0,5multipliziert.

Zitat:

Zahlendreher?

nein das ist schon mein ernst. ich habe aus -10=0 gemacht.

ich hab das gefühl, dass ich bei der aufgabe ein ganz anderes (gravierenderes) problem habe....
da funktioniert bei mir nämlich gar nichts. ich komm nicht mal mit deinem richtigen lgs auf die richtige lösung. wenn die zahlen zwischen 0 und 4 sind muss ich es gar nciht beachten? nur wenn sie negativ sind oder größer als 4...?

26.06.2014, 16:33

RavenOnJ

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RE: LGS Modulo umformung

Zitat:

Original von akamanston

Zitat:

Original von RavenOnJ
Die erste Folgerung ist jetzt richtig, ich hätte allerdings 1,1,1,3 gewählt.

was heißt denn gewählt, ich habe einfach mit 0,5multipliziert.

Das habe ich gesehen (am Rande: es gibt in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ kein 0,5. Teilen durch 2 wäre die richtige Wortwahl. Vielleicht merkst du allmählich, dass dein fortgesetztes Rechnen im Reellen dich in Teufels Küche bringt.) Nichtsdestotrotz wäre 1,1,1,3 äquivalent. Ist nur Geschmacksache. Ich persönlich würde möglichst kleine Zahlen anstreben.

Zitat:

Zahlendreher?

nein das ist schon mein ernst. ich habe aus -10=0 gemacht.

Auch das habe ich gesehen und auch gar nicht bemängelt. Es ging mir um die 0,2,3 in der 3. Zeile der Koeffizientenmatrix. Dort muss aus den angegebenen Gründen 0,3,2 stehen. Nur weil 2+3=5=0=2-2=3-3 kommst du dann letztendlich trotz deines Fehlers auf das richtige Ergebnis.

Zitat:

ich hab das gefühl, dass ich bei der aufgabe ein ganz anderes (gravierenderes) problem habe....
da funktioniert bei mir nämlich gar nichts. ich komm nicht mal mit deinem richtigen lgs auf die richtige lösung. wenn die zahlen zwischen 0 und 4 sind muss ich es gar nciht beachten? nur wenn sie negativ sind oder größer als 4...?

Du musst halt bei diesem Körper immer modulo rechnen, wenn du in den ganzen Zahlen rechnest. Wenn du dich innerhalb $\begin{eqnarray*} 0\le x-y,x+y,x\cdot y\le 4,x,y\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ bewegst, gibt es kein Problem, da ändert sich nichts beim Rechnen in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ . Erst wenn das Ergebnis außerhalb dieses Bereichs liegt, musst du modulo rechnen.

Etwas schwieriger ist das Teilen: was ist $\begin{eqnarray*} 3/2 \end{eqnarray*}$ ? Auf alle Fälle nicht 1,5, sondern $\begin{eqnarray*} 2\cdot 4 = 3\Rightarrow 3/2=4 \end{eqnarray*}$
Du kannst Teilen auch ganz vermeiden, indem du stattdessen mit dem Inversen des Teilers multiplizierst:
$\begin{eqnarray*} 3\cdot 2^{-1}= 3\cdot 3 = 4 \end{eqnarray*}$
, da das Inverse von 2 die 3 ist, denn $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3 =1 \end{eqnarray*}$ .

26.06.2014, 23:07

akamanston

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ok ich habs nun soweit verstanden.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2& 2 &|1 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 2 &3&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt überspricnge ich den rechenweg mal, und komme gleich zu
$\begin{eqnarray*} x_{3}=x_{2} =\lambda \end{eqnarray*}$
aber nun gehts weiter: $\begin{eqnarray*} 2x_{1}+2x_{2}+ 2x_{3}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}+2\lambda + 2\lambda =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_{1}=1-4\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{align*} -4=-1\cdot4=4\cdot4=16\equiv 1 \end{align*}$

und nun ist $\begin{eqnarray*} 2x_{1}=1+\lambda \end{eqnarray*}$

wie gehts jetzt weiter?

EDIT:

OK ich habs jetzt duchschaut.
aber wieso ist

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2^{-1}=\frac{1}{2} \equiv 3 \end{eqnarray*}$

???

26.06.2014, 23:24

RavenOnJ

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Zitat:

Original von akamanston
ok ich habs nun soweit verstanden.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2& 2 &|1 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 2 &3&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Angeblich hast du's verstanden, schreibst aber immer noch die falsche Matrix hin. Daraus schließe ich, dass du es entweder doch noch nicht verstanden oder meinen Beitrag nicht gelesen hast.

Zitat:

und nun ist $\begin{eqnarray*} 2x_{1}=1+\lambda \end{eqnarray*}$

Offenbar hast du hier eine Inhomogenität, nämlich die 1. Du kannst die homogene und die inhomogene Lösung getrennt betrachten, also

$\begin{align*} 2x_{1,inhom}&=1 \\ 2x_{1,hom} &=\lambda \end{align*}$

Die Summe ergibt die Gesamtlösung:

$\begin{align*} x_1 = x_{1,inhom} + x_{1,hom} \end{align*}$

26.06.2014, 23:29

akamanston

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ohman, durch die kopiererei hab einen fehler gemacht.

es muss natürlich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2& 2 &|1 \\ 0 & 2& 3 &|0\\ 0 & 0 &0&|0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heißen

ich bei deinen ausführungen erkannt, dass wohl $\begin{eqnarray*} 2x_{1}=1+\lambda \end{eqnarray*}$ ist

ich ahbe dann so weitergemacht
$\begin{eqnarray*} x_{1}=2^{-1}( 1+\lambda) \end{eqnarray*}$

26.06.2014, 23:32

RavenOnJ

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Zitat:

Original von akamanston

aber wieso ist

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2^{-1}=\frac{1}{2} \equiv 3 \end{eqnarray*}$

???

Du befindest dich in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \simeq \mathbb Z/5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Rechne also im Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 3 = 1 \!\!\!\!\mod 5 \end{eqnarray*}$

3 ist also zu 2 invers.

26.06.2014, 23:33

RavenOnJ

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Zitat:

Original von akamanston

ich ahbe dann so weitergemacht
$\begin{eqnarray*} x_{1}=2^{-1}( 1+\lambda) \end{eqnarray*}$

Klar, so geht's auch. Was kommt also raus?

26.06.2014, 23:38

akamanston

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Zitat:

Du befindest dich in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \simeq \mathbb Z/5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Rechne also im Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ :

-.-

neinneinnein. ich checks net

wo ist hier
$\begin{eqnarray*} 2\cdot 3 = 1 \!\!\!\!\mod 5 \end{eqnarray*}$

die verbindung zu 2^-1 ??

26.06.2014, 23:41

RavenOnJ

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Zitat:

Original von akamanston

Zitat:

Du befindest dich in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \simeq \mathbb Z/5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Rechne also im Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ :

-.-

neinneinnein. ich checks net

wo ist hier
$\begin{eqnarray*} 2\cdot 3 = 1 \!\!\!\!\mod 5 \end{eqnarray*}$

die verbindung zu 2^-1 ??

Die Isomorphie von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ und dem Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist dir nicht bekannt?

In $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3 = 1 \Rightarrow 3= 1/2 = 2^{-1} \end{eqnarray*}$ .

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