Kritische Punkte (Extrema unter berücksichtigung von Nebenbedingungen)

15.06.2014, 22:21

HBX8X

Auf diesen Beitrag antworten »

Kritische Punkte (Extrema unter berücksichtigung von Nebenbedingungen)

Guten Abend liebes Board,

wir haben neulich eine Aufgabe bekommen die mir eigentlich keine Probleme bereiten sollte. Ich sage eigentlich, da mich das technische etwas zu schaffen macht. Deshalb wäre es sicher hilfreich, wenn ich es schaffe, dass technische ins mathematische zu ,,übersetzen".

Das rot und blau eingezeichnete stammt von mir, um von euch die Gewissenheit zu bekommen, ob ich denn alles richtig verstanden habe.

Nun zunächst zur Aufgabe (a). Der von mir eingezeichnete Mittelpunkt sollte inetwa stimmen, nun weiss ich aber gar nicht was ich den tun soll. Sind das etwa zwei Nebenbedingungen und von mir ist verlangt unter dieser Berücksichtigung die Extrema zu berechnen?

Ich freue mich über jede hilfreiche Antowrt! Freude

Freude

Gruß!

15.06.2014, 22:32

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du (a) und (b) schon hinbekommen?

Wenn, dann ist (c) nämlich ein ganz normales Extremwert Problem mit NB.

15.06.2014, 22:42

HBX8X

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo DeltaX,

ich habe mir (c) soebend angeschaut und erkenne darin definitiv ein Extremwertproblem mit Nebenbedingung. Sie zu lösen sollte kein Problem darstellen.

Deshalb gehe ich davon aus, das (a) definitiv keines ist und es anders gelöst werden muss. Doch nun stellt sich mir die Frage was zu tun ist. Denn ich stehe wirklich auf dem Schlauch und mir stellt sich die Frage was man da denn überhaupt rechnen soll. Freude

Freude

Gruß.

15.06.2014, 22:58

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht doch!
Setze für alpha und beta die Terme R+L bzw. R-L ein (die 2RL heben sich dabei dann auf).
Dann vergleiche das Ergebnis mit den Koordinaten des Mittelpunktes, welche du mittels der Formel M = (A+B)/2 erhältst.
Dazu musst du mittels der Parabelgleichung noch die y-Werte der Randpunkte berechnen.

mY+

15.06.2014, 23:25

HBX8X

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos und ein vielen dank für die hilfreiche Antwort. Demnach folgt darraus

$\begin{eqnarray*} f(\alpha ,\beta )=\frac{1}{4} (2R^2+2L^2) \end{eqnarray*}$

Und da wir nur den Mittelpunkt der y-Koordinate der Sehne brauchen folgt hierfür laut bekannter Formel:

$\begin{eqnarray*} M=\frac{y_{2} - y_{1}}{2} \end{eqnarray*}$

wobei y2 die y-Koordinate bei R ist und y1 bei L ist. Die Parabelgleichung lautet f(x)=x^2, wobei die y-Werte demnach

$\begin{eqnarray*} f(R)=R^2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f(L)=L^2 \end{eqnarray*}$ sind. Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} (2R^2+2L^2)=\frac{R^2 - L^2}{2} \end{eqnarray*}$

Da ist mir wohl irgendwo ein Vorzeichenfehler unterlaufen, bloß stellt sich mir die Frage wo. geschockt

geschockt

Ansonsten stimmt es ?

Gruß.

15.06.2014, 23:37

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HBX8X
...
Und da wir nur den Mittelpunkt der y-Koordinate der Sehne brauchen folgt hierfür laut bekannter Formel:

$\begin{eqnarray*} M=\frac{y_{2} - y_{1}}{2} \end{eqnarray*}$
...

Das stimmt NICHT!
Vielmehr gilt

$\begin{eqnarray*} y_M=\frac{y_{2} \color{red}+\color{black} y_{1}}{2} \end{eqnarray*}$

Anzeige

15.06.2014, 23:46

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlicher wär's übrigends gewesen, wenn man kurz an die Oberstufe der Schule gedacht hätte:

Die beiden Schnittpunkte der Sehne mit der Parabel liegen bei

$\begin{eqnarray*} \vec l:=(L~,~L^2);\qquad \vec r:=(R~,~R^2) \end{eqnarray*}$

Dementsprechend ist die Sehne durch den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec S := \Bar {lr}=\vec r - \vec l \end{eqnarray*}$ beschrieben.

Der Mittelpunkt liegt also bei

$\begin{eqnarray*} \vec l + \frac 12 \vec S = \vec l + \frac 12 (\vec r - \vec l)=\frac 12 \cdot (\vec r + \vec l) \end{eqnarray*}$

Uns interessiert allerdings nur die y-Komponente, also musst du das ganze nur für die y-Komponente betrachten. Danach sind's nur noch Umformungen.

Wink

Wink

15.06.2014, 23:50

HBX8X

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt es, du hattest es sogar noch selbst mit positiven Vorzeichen genannt. Ich weiss wirklich nicht wie ich auf das negative Vorzeichen gekommen bin. Freude

Freude

Ziemlich einfach wenn man ein Schub bekommt. Freude

Freude

Danke schön!

Ich muss aber zugeben, dass mir in Bezug zum Aufgabenteil (b) nicht viel einfällt, da ich solche Aufgaben ziemlich irrsinnig finde. Ich vermute es läuft irgendwie auf Teilaufgabe (a) hinaus. Zunächst setze ich in die von (b) genannte Gleichung Alpha und Beta ein. Das muss nun gleichgesetzt werden mit der von mir gebildeten Gleichung, welche die Länge l der Sehne beschreibt.

Diese berechne ich, indem ich den Betrag des Vektors zwischen den Randpunkt A und B berechne. Stimmt das so, da mir nichts anders dazu einfällt.

Editiert: Danke sehr, DeltaX. Ebenfalls eine super Lösungsmethode auf welche ich nicht gekommen wäre.

16.06.2014, 00:03

DeltaX

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich oben sagte ist $\begin{eqnarray*} \vec S \end{eqnarray*}$ der Vektor, der die Sehne repräsentiert.

Um nun die Länge der Sehne herauszufinden musst du die Länge des Vektor berechnen, also genau wie du's gesagt hast. Wink

Wink

16.06.2014, 00:35

HBX8X

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr, dann lang ich wohl richtig. Nun steck ich leider bei folgender Gleichung fest

$\begin{eqnarray*} \sqrt{R^2+R^4+L^2+L^4-2RL-2L^2R^2} \end{eqnarray*}$

Das sollte zwar dem der Ausgangsgleichung entsprechen, aber trotzdem wäre es schön noch auf die selbe Darstellung zu kommen, doch das scheint von mir aus leider nicht zu funktionieren. Hat irgendwer eventuell ein Tipp wie ich hier weiter vorgehen kann? Auf eine Reine Multiplikation in der Wurzel, damit ich sie auseinanderschreiben kann, komm ich leider nicht.

Vielleicht hat sich aber auch nur ein Fehler eingeschlichen.

Gruß.

16.06.2014, 00:52

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist KEINE Gleichung!
Was soll das sein bzw. welchen Aufgabenpunkt willst du damit behandeln?

16.06.2014, 00:59

HBX8X

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich meinte selbstverständlich Term. Ich muss etwas korrigieren, denn das im letzten Post genannte ist der Term von der Gleichung der Teilaufgabe (b) nach l aufgelöst und ebenfalls Alpha und Beta ersetzt durch die vorgegebenen Werte. Wenn ich das ganze vereinfache und zusammenfasse komm ich auf den Term im letzten Post genannt. Ich will nun zeigen das dieser gleich der Betrag von

$\begin{eqnarray*} \vec S := \Bar {lr}=\vec r - \vec l \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \vec l:=(L~,~L^2);\qquad \vec r:=(R~,~R^2) \end{eqnarray*}$

ist. Leider misslingt mir das, obwohl das eigentlich richtig sein sollte (glaube ich).

Gruß.
____________________________________________

Guten Tag,

ich melde mich noch einmal zurück und möchte gerne hinzufügen, dass ich mich gestern Abend verrechnet habe (Leider kann ich den letzten Post nicht korrigieren). Soll heißen, dass ich nun beide Terme zusammengefasst habe und auf beiden Seiten dasselbe herrauskommt. Demnach ist nun Teilaufgabe (b) ebenfalls gelöst mit

$\begin{eqnarray*} | \vec{S} |=l=|\begin{pmatrix} R-L \\ R^2-L^2 \end{pmatrix} | = \sqrt{R^2+R^4+L^2+L^4-2RL-2L^2R^2} \end{eqnarray*}$

Das entspricht $\begin{eqnarray*} g(a,b):=a^2+b^2a^2=l^2 \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} l=\sqrt{b^2+a^2b^2}=\sqrt{R^2+R^4+L^2+L^4-2RL-2L^2R^2} \end{eqnarray*}$

PS. Ich habe a,b zur vereinfachung der Latex-Nutzung anstatt alpha, beta genutzt. Jetzt würde ich noch gerne den Rest schaffen. Zunächst zu (c). Ich muss den Gradienten von folgender Lagrange-Funktion bestimmen oder?

$\begin{eqnarray*} L_{\lambda }(a,b,l,\lambda) = \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2+\lambda (b^2+a^2b^2-l^2) \end{eqnarray*}$

Ich bedanke mich nochmals sehr für die bisherige Hilfe!

Gruß.

____________________________________________

Ist das ein Bug das man manchmal nicht mehr die Erlaubnis hat seinen Post zu editieren? verwirrt

verwirrt

Ich wollte nämlich das derzeitige Problem besser erklären. Ich soll bei Aufgabenteil (c) alle kritischen Punkte (Extrema) der Lagrange Funktion bestimmen. Nun bin ich mir aber unsicher mit welcher Funktion ich zu rechnen habe.

$\begin{eqnarray*} L_{\lambda }(a,b,l,\lambda) = \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2+\lambda (b^2+a^2b^2-l^2) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} L_{\lambda }(a,b,l,\lambda) = \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2+\lambda (b^2+a^2b^2) \end{eqnarray*}$

Gruß.

PS. Deutschland hat sehr toll gespielt. Freude

Freude

___________________________________________

Auch nach dem ich 15 Minuten gewartet habe, habe ich leider nicht die Berechtigung meinen letzten Post zu editieren, deshalb bin ich gezwungen einen weiteren Post hinzufügen. Der oberige Post sollte eigentlich folgendes editiert bekommen:

Offensichtlich das welches l enthält, da ja bereits in der Aufgabenstellung Fallunterscheidungen in Bezug zu l genannt werden. Nun bin ich beim Gradienten angelangt, welcher wie folgt lautet (Zur Vereinfachung ist Alpha=a, Beta=b, Lambda=x:

$\begin{eqnarray*} grad L_{\lambda } = \begin{pmatrix} 2ab^2x+\frac{1}{2} a \\ 2a^2bx+2bx+\frac{1}{2}b \\ -2lx \\ b^2+a^2b^2-l^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun den Fall l=1 untersuche komm ich auf die lustige Lösungsmenge {a,b,l,x}={0,0,1,0}. Ist das so korrekt?

Und wie geht man denn speziell vor wenn einmal l größer bzw. kleiner sein soll? Das sehe ich ja zum ersten Mal hier. Wink

Wink

Mit freundlichen Gruß

HBX8X

____________________________________________

Eine weitere Frage die ich habe lautet was ich bei Aufgabenteil (d) nun mit der Funktion anstellen soll. Ich habe g(a,b)=b^2+a^2 b^2 -l^2 einmal nachb differenziert und einmal nach a (Hier wird das Ergebnis mit -1 multipliziert laut Aufgabenstellung).

Was mussich nun tun? Das würde mich zuletzt auch noch interessieren.^^

Gruß.

PS. Zur vereinfachung habe ich anstatt Beta und Alpha b und a genutzt.

17.06.2014, 18:43

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HBX8X
...
Ich wollte nämlich das derzeitige Problem besser erklären. Ich soll bei Aufgabenteil (c) alle kritischen Punkte (Extrema) der Lagrange Funktion bestimmen. Nun bin ich mir aber unsicher mit welcher Funktion ich zu rechnen habe.

$\begin{eqnarray*} L_{\lambda }(a,b,l,\lambda) = \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2+\lambda (b^2+a^2b^2-l^2) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} L_{\lambda }(a,b,l,\lambda) = \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2+\lambda (b^2+a^2b^2) \end{eqnarray*}$
...

Wenn schon, ersteres! Im Klammerausdruck neben $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ muss immer die auf 0 gebrachte NB (Nebenbedingung) stehen, übrigens ist dies auch aus der Angabe ersichtlich (!)
Der Ansatz ist aber so nicht richtig, denn darin sollen nur die beiden Variablen a, b und der Multiplikator $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ erscheinen, l ist eine Konstante und diese gehört in die NB.

Setze also

$\begin{eqnarray*} L(a,b,\lambda) = \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2+\lambda (l^2 - b^2 -a^2b^2) \end{eqnarray*}$

Ein weiteres, leider oft praktiziertes Vorgehen ist es, L auch nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ abzuleiten.
Das ist zwar kein Fehler, aber dennoch total unnötig.
Da nach der Ableitung nur der Klammerfaktor, der die NB enthält, stehenbleibt und Null zu setzen ist, genügt das Einsetzen in die NB vollends, denn diese ist ja ohnehin auch immer auf Null gebracht.

Die drei Unbekannten lauten also a, b und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und wir benötigen daher auch drei Gleichungen.
Zu bemerken ist, dass bei der Erstellung und Untersuchung der Hesse-Matrix NUR die Ableitungen nach a und b eingetragen werden, NICHT jene nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Somit ergeben sich mittels partieller Ableitung nach a und b und deren Nullsetzen die beiden Gleichungen

$\begin{eqnarray*} (1) \ \frac a 2 - 2ab^2 \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ \frac b 2 - (2b + 2a^2b) \lambda = 0 \end{eqnarray*}$
------------------------------------------
Die dritte Gleichung ist die NB.

Damit die Gleichungen weiter zu vereinfachen sind, schließe die Fälle a = 0 und b = 0 zunächst aus, sie sollen gesondert behandelt werden.
Dann ist

$\begin{eqnarray*} (1) \ 1 = 4b^2 \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ 1 = 4(1 + a^2) \lambda \end{eqnarray*}$
-------------------------------

Bei der nachfolgenden Rechnung bzw. Auflösung taucht dann der Ausdruck $\begin{eqnarray*} l - 1 \end{eqnarray*}$ auf. Ab hier ist man veranlasst, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Kannst du dies mal weiter berechnen?

Anmerkung:
Hinsichtlich deines Editier-Problemes frage bitte die Administation (PN an Thomas oder Iorek), da kann ich dir nicht weiterhelfen, jedoch habe ich deine Mehrfachposts zusammengefügt.

mY+

17.06.2014, 18:58

HBX8X

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank für das Zusammensetzen der Posts, wirklich sehr nett. Wink

Wink

Ist denn nicht folgende Gleichung äquivalent zu deiner ?

$\begin{eqnarray*} L_{\lambda }(a,b,l,\lambda) = \frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}b^2+\lambda (b^2+a^2b^2-l^2) \end{eqnarray*}$

Bei dir wurde bloß das a und b auf die andere Seite gebracht.

Gruß.

17.06.2014, 23:18

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schon gesagt, das $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ist NICHT Argument der Lagrangefunktion, denn es ist eine Konstante, warum willst du das partout nicht anerkennen?
---------
Ansonsten ist selbstverständlich deine Gleichung äqivalent zu meiner, denn die NB wurde bloß mit (-1) multipliziert, so ändert dein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sein Vorzeichen im Vergleich zu meinem.
Ich würde dir dennoch zu meiner Gleichung raten, so vermeidest du einfach die negativen Vorzeichen. Es ist allerdings sonst nichts weiter dahinter.

mY+

17.06.2014, 23:33

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

wegen Editieren:

Ich glaube das Editieren ist auf 15 Minuten beschränkt solange man gelbe Sterne ( Beiträge < 100 ) hat.

18.06.2014, 02:02

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird so stimmen.
Also NICHT 15 Minuten warten, sondern im Gegenteil innerhalb 15 Minuten editieren!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »