Funktionen - Grenzwert?

16.06.2014, 09:00

Schattenklinge

Funktionen - Grenzwert?

Hi,

Diese Aufgabe scheint mir sehr einfach, aber ich weiß nicht wie ich daran rangehen soll, kann mir jemand mal die Schritte dafür nennen?

[attach]34623[/attach]

16.06.2014, 09:03

bijektion

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Fang mal mit (a) an: Wie kannst du $\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{x} \end{eqnarray*}$ anders schreiben? Augenzwinkern

16.06.2014, 09:58

Schattenklinge

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$\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ ?

Wegen |x| = x

x/x = 1

16.06.2014, 10:15

bijektion

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Aber nur für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{x}=\begin{cases} 1 & x>0 \\ -1 & x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .
Was passiert jetzt für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ ?

16.06.2014, 15:33

Schattenklinge

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Entschuldigung aber muss ich diese 0 jetzt in die Funktion einsetzen? Also 0/0?
Das ist ja nicht definiert, also hats kein Grenzwert?

16.06.2014, 15:45

10001000Nick1

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Zitat:

Original von bijektion
Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{x}=\begin{cases} 1 & x>0 \\ \textcolor{red}{0} & x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Sicher?

17.06.2014, 08:37

Schattenklinge

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Müsste eher -1 sein..

So, wie überprüfe ich denn nun ob die Funktion einen Limes hat?

Limes |x| / x ist für x > 0 -> 1 und konvergiert so gegen 1? oder wie?
Limes |x| / x ist für x < 0 -> -1 und konvergiert so gegen 1?

17.06.2014, 09:30

bijektion

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Oh oh, Nick hat natürlich Recht, da hab ich mich vertippt!
Ich habs editiert.

Zitat:

So, wie überprüfe ich denn nun ob die Funktion einen Limes hat?

Wenn der $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ existiert, so gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0^+}f_1(x)=\lim_{x\to 0^-}f_1(x) \end{eqnarray*}$ .
Wie du schon gesagt hast, ist aber $\begin{eqnarray*} 1=\lim_{x\to 0^+}f_1(x)\neq\lim_{x\to 0^-}f_1(x)=-1 \end{eqnarray*}$ , also existiert der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ nicht.

Da aber $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ konstant ist für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ , existiert sehrwohl $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f_1(x) \end{eqnarray*}$ smile

17.06.2014, 10:00

Schattenklinge

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Wie würde man es denn vernünftig aufschreiben dann?

zu der (b) das hat keinen Grenzwert, weil x-> 0 läuft, also muss es eine Nullfolge sein, also

|an| / an , beides konvergiert gegen 0, sowohl |an| als auch an, also Grenzwert existiert nicht.

zu (c)

Ich schreibe den Term um in: $\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)(x-42)}{x-1}[/] [l] = x-42 \end{eqnarray*}$

da x->1 -> 1-42 = -41, also existiert der limes: nämlich -41, ist das so richtig?

17.06.2014, 10:06

Schattenklinge

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Latex hat irgendwie nicht funktioniert, deshalb hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)(x-42)}{x-1}[/] => [l] = x-42 \end{eqnarray*}$

17.06.2014, 10:09

bijektion

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(b): Wenn du es mit Folgen machen willst, wähle $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ .

(c): Ich weiß nicht wie du umgeschrieben hast, aber man erkennt schnell, dass $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle des Zählers ist, also kann man etwa Polynomdivision nutzen.

EDIT: $\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)(x-42)}{x-1} = x-42 \end{eqnarray*}$ meinst du? Das ist genau was ich meinte Freude

17.06.2014, 11:29

Schattenklinge

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Gut, jetzt müsstest du mir noch helfen bei der Gaußklammer... Da hab ich keine Ahnung...

Ich weiß dass (d) gegen 1 konvergiert und (e) gegen 0, mehr weiß ich nicht.

17.06.2014, 11:41

Schattenklinge

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Eine andere Frage noch: bei f2 steht ja reelle Zahlen ohne 1.
d.h. es existiert kein Grenzwert dafür oder? Ich darf ja keine 1 für x einsetzen? ODer wie ist das gemeint?

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