Beweis Reihen Induktion?

16.06.2014, 21:18

Induktio

Beweis Reihen Induktion?

Hi, ich soll beweisen das

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{k}a_nb_n=A_kb_{k+1}+\sum_{n=1}^{k}A_n(b_n-b_{n+1}) \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich dachte mir eventuell kann man es mit Induktion zeigen?

Ich bin dabei folgendermaßen vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ :

linke Seite: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^1a_nb_n=a_1b_1 \end{eqnarray*}$

rechte Seite: $\begin{eqnarray*} A_1b_2+\sum_{n=1}^1A_n(b_n-b_{n+1})=A_1b_2+A_1b_1-A_1b_{2}=A_1b_1 \end{eqnarray*}$

Das gilt jetzt natürlich nur wenn $\begin{eqnarray*} A_n=a_n \end{eqnarray*}$ gilt. Kann mir jemand sagen ob ich das machen darf? Falls nein, wie sonst? verwirrt

16.06.2014, 21:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Induktio
Hi, ich soll beweisen das

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{k}a_nb_n=A_kb_{k+1}+\sum_{n=1}^{k}A_n(b_n-b_{n+1}) \end{eqnarray*}$ gilt.

Da steht nicht zufällig $\begin{eqnarray*} A_n=\sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$ in den Voraussetzungen - und du lässt das einfach weg??? Forum Kloppe

16.06.2014, 21:51

Induktio

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Ja genau $\begin{eqnarray*} A_k=\sum_{n=1} a_n \end{eqnarray*}$ Soll ich das jetzt für $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ noch einsetzen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{k}a_nb_n=\sum_{n=1}^k a_nb_{k+1}+\sum_{n=1}^{k}A_n(b_n-b_{n+1}) \end{eqnarray*}$ und dann das ganze mal durchziehen?

17.06.2014, 13:03

HAL 9000

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Was ist denn im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} k\to k+1 \end{eqnarray*}$ eigentlich zu tun? Betrachten wir doch die Terme in der zu beweisenden Gleichung:

Links kommt da $\begin{eqnarray*} a_{k+1}b_{k+1} \end{eqnarray*}$ zur Summe hinzu.

Rechts kommt $\begin{eqnarray*} A_{k+1}(b_{k+1}-b_{k+2}) \end{eqnarray*}$ zur Summe hinzu, außerdem noch der Term $\begin{eqnarray*} A_{k+1}b_{k+2} \end{eqnarray*}$ . Bezogen auf den rechten Term für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ fällt aber auch was weg, nämlich $\begin{eqnarray*} A_{k}b_{k+1} \end{eqnarray*}$ .

D.h., für die Richtigkeit des Induktionsschrittes ist letztendlich noch

$\begin{eqnarray*} a_{k+1}b_{k+1} \stackrel{?}{=} A_{k+1}(b_{k+1}-b_{k+2}) + A_{k+1}b_{k+2} - A_{k}b_{k+1} \end{eqnarray*}$

nachzuweisen...

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