Repräsentantenunabhängigkeit einer Abbildung zeigen

17.06.2014, 13:01	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Repräsentantenunabhängigkeit einer Abbildung zeigen Hallo, ich würde gerne zeigen, dass folgende Abbildung wohldefiniert ist: Sei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ein Automorphismus einer Gruppe G. Für eine Untergruppe U von G betrachten wir $\begin{eqnarray} G\backslash U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G\backslash \phi(U) \end{eqnarray}$ . Nun möchte ich zeigen, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} \tau: G\backslash U \rightarrow G\backslash \phi(U) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tau(gU)=g\phi(U) \end{eqnarray}$ wohldefiniert ist. Ist sie das überhaupt? Und, wenn ja, wie kann das zeigen?
17.06.2014, 13:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, offenbar liegt $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ im Kern von $\begin{eqnarray} G \to G/\phi(U) \end{eqnarray}$ und der Homomorphiesatz liefert uns dann die Wohldefiniertheit. Wobei du die induzierte Abbildung natürlich falsch definiert hast. Die Restklasse von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ muss auf die Restklasse von $\begin{eqnarray} \phi(g) \end{eqnarray}$ abgebildet werden. Sonst würde das wenig Sinn ergeben.

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