Gaußkrümmung für Kugel - Fehler in meiner Rechnung

18.06.2014, 05:10	dutiwrik	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußkrümmung für Kugel - Fehler in meiner Rechnung Hey, ich habe versucht mit der folgenden Formel $\begin{eqnarray} K = N \cdot (\frac{\partial N}{\partial u} \times \frac{\partial N}{\partial v}) \end{eqnarray}$ die Gaußkrümmung der Einheitskugel zu bestimmen. Leider komme ich nicht auf das korrekte Ergebnis. $\begin{eqnarray} X(u,v) = \begin{pmatrix}<br /> cos(u) \cdot sin(v)\\ <br /> sin(u) \cdot sin(v)\\ <br /> cos(v)<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechnung von $\begin{eqnarray} X_u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_u = \begin{pmatrix}<br /> -sin(u)sin(v)\\ <br /> cos(u)sin(v)\\ <br /> 0<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_v = \begin{pmatrix}<br /> cos(u)cos(v)\\<br /> cos(v)sin(u)\\ <br /> -sin(v) <br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Mit deren Hilfe berechne ich den Normalenvektor $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N = \begin{pmatrix}<br /> -(cos(u)sin(v)^2)/abs(sin(v))\\<br /> -(sin(u)sin(v)^2)/abs(sin(v))\\ <br /> -sin(2v)/(2abs(sin(v))) <br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Dann berechne ich noch $\begin{eqnarray} N_u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N_v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N_u = \begin{pmatrix}<br /> -(cos(u)sin(v)^2)/abs(sin(v))\\<br /> -(sin(u)sin(v)^2)/abs(sin(v))\\ <br /> -sin(2v)/(2abs(sin(v)))<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N_v = \begin{pmatrix}<br /> (sin(u)sin(v)^2)/abs(sin(v))\\<br /> -(cos(u)sin(v)^2)/abs(sin(v))\\ <br /> 0<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Zum Schluss setzte ich alles in die Formel für die Krümmung ein $\begin{eqnarray} K = abs(sin(v)) \neq 1 \end{eqnarray}$ Wo liegt mein Fehler?
18.06.2014, 09:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gaußsche Krümmung ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} K=\frac{(N_u\times N_v)\cdot N}{(X_u\times X_v)\cdot N} \end{eqnarray}$ Geometrische Interpretation: Man betrachtet auf der Oberfläche der gekrümmten Fläche ein differentiell kleines Parallelogramm, das von den Tangentialvektoren Xu, Xv aufgespannt wird. Der Nenner des obigen Bruches ist der Flächeninhalt dieses Parallelogrammes. Der Zähler (Nu x Nv)N ist ein Maß für die Spreizung der Normalvektoren an den Eckpunkten dieses Parallelogrammen, also ein Maß für die Krümmung des Parallelogrammes als Ganzes. Die Gaußsche Krümmung gibt aber die Krümmung in einem Punkt an. Sie ist also der Quotient beider Größen $\begin{eqnarray} K=\frac{\text{Krümmung des Parallelogrammes}}{\text{Fläche des Parallelogrammes}} \end{eqnarray}$ Deine Formel würde nur für den Spezialfall gelten, dass man orthogonale und normierte Tangentialvektoren hat. Dann wäre die Fläche des Parallelogrammes nämlich das Einheitsquadrat.
18.06.2014, 09:28	dutiwrik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Formel aus matheboard.de/archive/540973/thread.html also nicht allgemein anwendbar d.h. nur wenn die Tangentialvektoren orthogonal und normiert? // edit: $\begin{eqnarray} X_u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_v \end{eqnarray}$ sind orthogonal. Außerdem habe ich beide normiert. Und am Ende teile ich noch durch die Fläche des Parallelogramms, jedoch kommt immer noch nicht der erwartete Wert für die Krümmung raus :-(.
18.06.2014, 13:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Speziell bei der Einheitskugel sind der Ortsvektor X und der Normalvektor N identisch, also X=N. Folglich sind deren Ableitungen nach den Parametern u, v gleich, also Xu=Nu sowie Xv=Nv. Somit werden der Zähler und der Nenner in der Definitition der Krümmung gleichwertig, so dass der Quotient den Wert 1 ergibt, wie es bei der Einheitskugel sein muss $\begin{eqnarray} K=\frac{N_u\times N_n)\cdot N}{(X_u\times X_v)\cdot N}=1 \end{eqnarray}$ Bei Kugeln mit beliebigem Radius R kommen im Nenner 2 Mal die Faktoren R hinzu, welche jeweils in Xu und Xv enthalten sind, so dass die Krümmung dann den Wert K=1/R² hat. Für unendlich große Kugeln verschwindet also die Krümmung, während sie für kleine Kugeln gegen Unendlich geht.
19.06.2014, 22:06	dutiwrik	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Du hast mir wieder einmal sehr geholfen!

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