Identität für den Cotangens

18.06.2014, 07:25

Shalec

Identität für den Cotangens

Hallo,
ich sitze grad an einer Einer Aufgabe und finde noch keine Lösung.

Es ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(\frac{pi}{2}+3x)}{1-sin(3x-\pi)}=cot(\frac{5}{4}\pi+\frac{3}{2}x) \end{eqnarray*}$

Meine bisherigen Ansätze lieferten mir zunächst folgende Gleichheiten:

$\begin{eqnarray*} cot(\frac{5}{4}\pi+\frac{3}{2}x)=cot(\frac{\pi}{4}+\frac{3}{2}x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{sin(\frac{pi}{2}+3x)}{1-sin(3x-\pi)}=\frac{cos(3x)}{1+sin(3x)}=\frac{1-sin(3x)}{cos(3x)} \end{eqnarray*}$ nach dem Erweitern mit 1-sin(3x).
Abschließend lieferte mir die Betrachtung von
$\begin{eqnarray*} cot(\frac{\pi}{4}+\frac{3}{2}x)=\frac{cos(3/2 x)-sin(3/2 x)}{cos(3/2 x)+sin(3/2 x)} \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} sin(\pi/4)=cos(\pi/4) \end{eqnarray*}$ und wegen der Additionstheoreme und der identität $\begin{eqnarray*} cot=cos/sin \end{eqnarray*}$

Hat jemand noch eine Idee, wie ich hier weiter machen könnte?

Viele Grüße,
Shalec

18.06.2014, 08:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde die Winkelfunktionsargumente durch eine passende Substitution vereinfachen: Mit $\begin{eqnarray*} z=\frac{3}{2}x + \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} x = \frac{2}{3}z- \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ ist nachzuweisen

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(2z)}{1-\sin\left(2z-\frac{3}{2}\pi\right)} = \cot(z+\pi) \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(2z)}{1-\cos(2z)} = \cot(z) \end{eqnarray*}$ .

Und das kann einfach mit den Doppelwinkelformeln $\begin{eqnarray*} \sin(2z)=2\sin(z)\cos(z),\cos(2z)=1-2\sin^2(z) \end{eqnarray*}$ erledigt werden.

18.06.2014, 11:26

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach..über Substitutionen. Das hatte ich bei meinen Betrachtungen ausgeschlossen, da noch kein solches Verfahren für die Studis bekannt ist.

Aber du hast recht. Damit findet man die Lösung schnell.

Danke!

18.06.2014, 12:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shalec
da noch kein solches Verfahren für die Studis bekannt ist.

Da muss man nicht hochtrabend über "Verfahren" sprechen. Genau genommen kann man es hier auch als bloße Schreiberleichterung auffassen.

Neue Frage »

Antworten »

Identität für den Cotangens

Verwandte Themen