Jacobi-Matix = totales Differential?!

18.06.2014, 15:37	Julia&Karin	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi-Matix = totales Differential?! Meine Frage: Hallo Zusammen! $\begin{eqnarray} \gamma: K ^2\Rightarrow K ^3, (uv)\Rightarrow (uv,u-v,v^2) \end{eqnarray}$ Berechne für einen beliebigen Punkt $\begin{eqnarray} P\in K ^2 \end{eqnarray}$ das totale Differential $\begin{eqnarray} (D\gamma )_{P} \end{eqnarray}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen Meine Ideen: Wir wissen nicht genau ob wir einfach die Jacobi Matrix berrechnen müssen?! Ist das totale Differential nicht gleich der Jacobi Matirx?! Lg Julia und Karin
19.06.2014, 11:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf der uv-Ebene ist eine 3-dimensionale Funktion gegeben $\begin{eqnarray} \vec f(u,v)=\begin{pmatrix} f_1(u,v) \\ f_2(u,v) \\ f_3(u,v) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} uv \\ u-v \\ v^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir nehmen mal an, dass die Argumente u,v noch von einem Parameter t abhängen, also u=u(t) und v=v(t). Differenziert man die Vektorfunktion nach t (also alle 3 Komponeneten mittels Kettenregel), so ergibt sich $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec f(u,v)}{dt}=\begin{pmatrix} \tfrac{df_1}{dt} \\ \tfrac{df_2}{dt} \\ \tfrac{df_3}{dt} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{df_1}{du}\tfrac{du}{dt}+\tfrac{df_1}{dv}\tfrac{dv}{dt} \\ \tfrac{df_2}{du}\tfrac{du}{dt}+\tfrac{df_2}{dv}\tfrac{dv}{dt} \\ \tfrac{df_3}{du}\tfrac{du}{dt}+\tfrac{df_3}{dv}\tfrac{dv}{dt} \end{pmatrix} =\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{df_1}{du} & \tfrac{df_1}{dv}\\ \tfrac{df_2}{du} & \tfrac{df_2}{dv} \\ \tfrac{df_3}{du} & \tfrac{df_3}{dv} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tfrac{du}{dt} \\ \tfrac{dv}{dt} \end{pmatrix}}_{\text{Matrixschreibweise}} =\underbrace{\begin{pmatrix} v & u\\ 1 & -1 \\ 0 & 2v \end{pmatrix}}_{\text{Jacobimatrix}}\begin{pmatrix} \tfrac{du}{dt} \\ \tfrac{dv}{dt} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das totale Diffential bekommt man, wenn man in dieser Formel die "Quotienten" dt weglässt.

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