Erwartungswert und Varianz im zweistufigen Zufallsexperiment

18.06.2014, 17:00	MatheErsti123	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz im zweistufigen Zufallsexperiment Hallo, ich brauche Hilfe bei der Aufgabe, die sich im Anhang befindet. Ich habe den Erwartungswert bereits berechnet: $\begin{eqnarray} E[Y]=0,11000+0,9100=190 \end{eqnarray}$ Für die Standardabweichung habe ich zuerst die Varianz berechnet: $\begin{eqnarray} Var(Y)=E[Y^2]-(E[Y])^2=0,11000^2+0,9100^2-190^2=109000-36100=72900 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sigma _y=\sqrt{Var(Y)} =270 \end{eqnarray}$ Jedoch bin ich mir hierbei nicht sicher, ob diese Werte stimmen. Das größere Problem macht es mir aber Y als Teil eines zweistufigen Experiments zu beschreiben. Ich habe überlegt, dies mithilfe eines Baumdiagrammes zu tun, bei dem in erster Instanz ausgewählt wird, ob es sich um einen armen bzw. reichen Bürger handelt, aber wie es dann in der 2. Stufe weitergeht ist mir unklar, da ich mir nicht sicher bin, wieviele Pfade dort entstehen. Man könnte unterteilen danach ob die Person über oder unter dem Erwartungswert ihrer Schicht liegt. Es könnte aber auch sein, dass der Einkommenswert als Dichte zu betrachten ist und viel differenzierter als einfach nur "halb/halb" aufzuteilen ist. Ich bitte euch um eure Hilfe und danke euch im Vorraus
18.06.2014, 17:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast das beschriebene Verhalten nicht richtig umgesetzt, zumindest bei der Varianz: Dein $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ beschreibt die Situation, wo 10% jeweils genau 1000 Ozo, und 90% jeweils genau 100 Ozo Einkommen haben - darum geht es hier aber nicht. Man kann die Sache richtig z.B. so modellieren: Es sei $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ das Einkommen eines reichen, und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ da Einkommen eines armen Einwohners, dann sind die Daten $\begin{eqnarray} E(X_1)=1000,V(X_1)=300^2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} E(X_2)=100,V(X_1)=30^2 \end{eqnarray}$ gegeben. Dann ist $\begin{eqnarray} Y = 1_AX_1 + 1_{A^c}X_2 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ das von $\begin{eqnarray} X_1,X_2 \end{eqnarray}$ unabhängige Ereignis kennzeichnet, einen reichen auszuwählen. Es ergibt sich damit dann $\begin{eqnarray} E(Y) = E(1_AX_1) + E(1_{A^c}X_2) = E(1_A)E(X_1) + E(1_{A^c})E(X_2) = 0.1\cdot 1000 + 0.9\cdot 100 \end{eqnarray}$ genau wie bei dir, d.h. für den Erwartungswert klappt deine Rechnung. Für die Varianz gilt dann aber mit Nebenrechnung $\begin{eqnarray} E(X_1^2) = V(X_1)+(E(X_1))^2 = 1090000 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X_2^2) = V(X_2)+(E(X_2))^2 = 10900 \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} 1_B^2=1_B \end{eqnarray}$ für alle Indikatorfunktionen $\begin{eqnarray} E(Y^2) = E(1_A^2X_1^2 + 2\cdot 1_A1_{A^c}X_1X_2 + 1_{A^c}^2 X_2^2) = E(1_A)E(X_1^2) + E(1_{A^c}) E(X_2^2) = 0.1\cdot 1090000 + 0.9\cdot 10900 = 118810 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} V(Y) = E(Y^2)-(E(Y))^2 = 118810 - 190^2 = 82710 \end{eqnarray}$ .
19.06.2014, 10:06	MatheErsti123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Ja, ich sehe ein, dass ich es mir da wohl etwas zu leicht gemacht habe, indem ich das Einkommen der einzelnen Gruppen zu starr betrachtet habe.

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